Дан куб АВСDА1В1С1D1. Докажите, что прямые А1D и В1С1 скрещиваются.

Задача: дан куб ABCD A1B1C1D1. Доказать, что прямые A1D и B1C1 скрещиваются (то есть не пересекаются и не лежат в одной плоскости).

Решение (координатный подход, школьный уровень):

1. Примем координаты вершин куба:

• A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0)
• A1(0,0,1), B1(1,0,1), C1(1,1,1), D1(0,1,1)

2. Прямая A1D имеет направление d1 = D − A1 = (0,1,0) − (0,0,1) = (0,1,−1). Ее параметрическое уравнение: L1(t) = A1 + t d1 = (0,0,1) + t(0,1,−1) = (0, t, 1−t).

3. Прямая B1C1 имеет направление d2 = C1 − B1 = (1,1,1) − (1,0,1) = (0,1,0). Ее параметрическое уравнение: L2(s) = B1 + s d2 = (1,0,1) + s(0,1,0) = (1, s, 1).

4. Пересечение отсутствует:

• Чтобы точки принадлежали обеим прямым, их координаты должны совпадать. По x-координатам: 0 у L1 и 1 у L2, значит равенство невозможно. Следовательно, прямые не пересекаются.

5. Прямые не параллельны:

• Направления d1 = (0,1,−1) и d2 = (0,1,0) не пропорциональны, так как последний компонент у d1 равен −1, а у d2 — 0. Значит, параллельности нет.

6. Проверка несоприкосновенности по общности плоскости (скрещивание):

• Две прямые L1 и L2 скрещиваются тогда, когда они не лежат в одной плоскости. Это эквивалентно тому, что векторы d1, d2 и вектор между произвольной точкой на L1 и произвольной точкой на L2 образуют три линейно независимых вектора.
• Возьмем P1 = A1, P2 = B1. Тогда P2 − P1 = B1 − A1 = (1,0,0).
• Найдем векторное произведение d1 × d2: d1 × d2 = (0,1,−1) × (0,1,0) = (1,0,0).
• Скалярое произведение (P2 − P1) · (d1 × d2) = (1,0,0) · (1,0,0) = 1 ≠ 0.
• Значит три вектора линейно независимы, и L1, L2 не лежат в общей плоскости. Следовательно, прямые не coplanar, то есть скрещиваются.

Вывод: прямые A1D и B1C1 не пересекаются, не параллельны и не лежат в одной плоскости. Следовательно, они скрещиваются.