Задача Задача №3610489
А
А
3. Проверьте справедливость равенства sin²x - tg²x = -tg x sin²x.
Задача: проверить, справедливо ли равенство sin^2 x − tg^2 x = −tg x · sin^2 x для всех x (tg = tan).
Кратко: это не тождество. Равенство выполняется не при всех x, а только при определённых значениях tan x (или x).
Пошаговое решение
- Учтём область определения
- tan x определён там, где cos x ≠ 0. Иначе выражения с tan x не определены.
- sin^2 x определяется для всех x.
- Применим замену t = tan x и выразим sin^2 x через t Известно, что cos^2 x = 1/(1 + t^2) и sin^2 x = t^2/(1 + t^2), если t = tan x. Тогда:
- Левый член: sin^2 x − tan^2 x = t^2/(1 + t^2) − t^2 = −t^4/(1 + t^2).
- Правый член: −tan x · sin^2 x = −t · [t^2/(1 + t^2)] = −t^3/(1 + t^2).
Равенство LHS = RHS требует −t^4/(1 + t^2) = −t^3/(1 + t^2).
Так как 1 + t^2 > 0, можем умножить на (1 + t^2) без изменения решения: t^4 = t^3 t^3(t − 1) = 0.
Значит, t = 0 или t = 1.
- Переведём обратно к x и учтём область определения
- t = tan x = 0 → x = kπ, где k — целое число. (cos x = ±1, определённость сохранена)
- t = tan x = 1 → x = π/4 + kπ.
Итак, равенство верно не для всех x, а только при
- tan x = 0 или tan x = 1, то есть x ∈ { kπ } ∪ { π/4 + kπ }, k ∈ Z, при условии cos x ≠ 0 (что выполняется для указанных значений).
- Пример для контрольной проверки
- x = 0: sin^2 x − tan^2 x = 0 − 0 = 0; −tan x · sin^2 x = −0 · 0 = 0 — совпало.
- x = π/6: sin^2 x = 1/4, tan^2 x = 1/3, LHS ≈ −1/12 ≈ −0.0833; RHS ≈ −(1/√3)(1/4) ≈ −0.1443 — не совпадает.
- x = π/4: sin^2 x = 1/2, tan^2 x = 1, LHS = −1/2; RHS = −tan x · sin^2 x = −1 · 1/2 = −1/2 — совпадает.
Вывод
- Равенство sin^2 x − tan^2 x = −tan x · sin^2 x не является тождеством.
- Оно выполняется только для x, удовлетворяющих tan x ∈ {0, 1}, то есть x = kπ или x = π/4 + kπ (k ∈ Z).
