3. Проверьте справедливость равенства sin²x - tg²x = -tg x sin²x.

Задача: проверить, справедливо ли равенство sin^2 x − tg^2 x = −tg x · sin^2 x для всех x (tg = tan). Кратко: это не тождество. Равенство выполняется не при всех x, а только при определённых значениях tan x (или x). Пошаговое решение 1) Учтём область определения - tan x определён там, где cos x ≠ 0. Иначе выражения с tan x не определены. - sin^2 x определяется для всех x. 2) Применим замену t = tan x и выразим sin^2 x через t Известно, что cos^2 x = 1/(1 + t^2) и sin^2 x = t^2/(1 + t^2), если t = tan x. Тогда: - Левый член: sin^2 x − tan^2 x = t^2/(1 + t^2) − t^2 = −t^4/(1 + t^2). - Правый член: −tan x · sin^2 x = −t · [t^2/(1 + t^2)] = −t^3/(1 + t^2). Равенство LHS = RHS требует −t^4/(1 + t^2) = −t^3/(1 + t^2). Так как 1 + t^2 > 0, можем умножить на (1 + t^2) без изменения решения: t^4 = t^3 t^3(t − 1) = 0. Значит, t = 0 или t = 1. 3) Переведём обратно к x и учтём область определения - t = tan x = 0 → x = kπ, где k — целое число. (cos x = ±1, определённость сохранена) - t = tan x = 1 → x = π/4 + kπ. Итак, равенство верно не для всех x, а только при - tan x = 0 или tan x = 1, то есть x ∈ { kπ } ∪ { π/4 + kπ }, k ∈ Z, при условии cos x ≠ 0 (что выполняется для указанных значений). 4) Пример для контрольной проверки - x = 0: sin^2 x − tan^2 x = 0 − 0 = 0; −tan x · sin^2 x = −0 · 0 = 0 — совпало. - x = π/6: sin^2 x = 1/4, tan^2 x = 1/3, LHS ≈ −1/12 ≈ −0.0833; RHS ≈ −(1/√3)(1/4) ≈ −0.1443 — не совпадает. - x = π/4: sin^2 x = 1/2, tan^2 x = 1, LHS = −1/2; RHS = −tan x · sin^2 x = −1 · 1/2 = −1/2 — совпадает. Вывод - Равенство sin^2 x − tan^2 x = −tan x · sin^2 x не является тождеством. - Оно выполняется только для x, удовлетворяющих tan x ∈ {0, 1}, то есть x = kπ или x = π/4 + kπ (k ∈ Z).