В треугольнике ABC биссектриса CN и высота BH пересекаются под углом 55°. Найдите угол BAC, если ∠ ABH : ∠CBH = 1 : 4. Ответ дайте в градусах

Решение (детально, пошагово)

Дано: в треугольнике ABC высота BH к стороне AC, и CN — биссектриса угла C. BN и BH пересекаются под углом 55°. Также дано соотношение углов на BH: ∠ABH : ∠CBH = 1 : 4. Найти ∠BAC.

1. Обозначим углы треугольника:

• ∠A = α, ∠B = β, ∠C = γ. Тогда α + β + γ = 180°.

2. Выразим углы ABH и CBH через α и γ.

• BH ⟂ AC, значит угол между BH и AB равен углу между AB и перпендикуляром к AC. Так как угол между AB и AC равен α, получаем: ∠ABH = 90° - α.
• Аналогично угол между BC и BH равен углу между BC и перпендикуляром к AC. Угол между BC и AC равен γ, следовательно: ∠CBH = 90° - γ.

3. По условию ∠ABH : ∠CBH = 1 : 4. Пусть ∠ABH = t, тогда ∠CBH = 4t. Из формул выше:

• 90° - α = t,
• 90° - γ = 4t.

Отсюда α = 90° - t, γ = 90° - 4t, а β = 180° - α - γ = 180° - (90° - t) - (90° - 4t) = 5t.

4. Угол между CN и BH. CN — биссектриса угла C, значит CN делает с CA угол γ/2. Поскольку BH перпендикулярна CA, угол между CN и BH равен: ∠(CN, BH) = 90° - γ/2.

По условию этот угол равен 55°: 90° - γ/2 = 55° → γ/2 = 35° → γ = 70°.

5. Найдём t и α. Из γ = 90° - 4t получаем 70° = 90° - 4t → 4t = 20° → t = 5°. Тогда α = 90° - t = 90° - 5° = 85°.

Ответ: ∠BAC = 85°.