4x^2-4x+1 больше или равно 0 методом интервалов

Задача: решить неравенство 4x^2 − 4x + 1 ≥ 0 методом интервалов.

Цель: понять решение подробно и по шагам.

1. Найти корни уравнения f(x) = 4x^2 − 4x + 1 = 0

• Можно заметить, что 4x^2 − 4x + 1 = (2x − 1)^2.
• Значит корень двойной: (2x − 1)^2 = 0 ⇒ x = 1/2.

2. Разделить ось X на интервалы по найденному корню

• Интервалы: (-∞, 1/2) и (1/2, ∞).
• Точку x = 1/2 включаем в решение, потому что неравенство ≥ 0.

3. Определить знак функции на каждом интервале

• Выберем тестовые значения:
  • Для x < 1/2: возьмём x = 0. f(0) = 4·0^2 − 4·0 + 1 = 1 > 0.
  • Для x > 1/2: возьмём x = 1. f(1) = 4 − 4 + 1 = 1 > 0.
• Поскольку у нас двойной корень (разложение как квадрат), знак на обоих интервалах положительный и не меняется.

4. Учитываем равенство на корне

• При x = 1/2: f(1/2) = (2·1/2 − 1)^2 = 0.
• Неравенство ≥ 0 допускает это значение.

5. Вывод

• Функция неотрицательна на всей оси X.
• Решение неравенства: все действительные числа x ∈ ℝ.

Дополнительное замечание

• Это следует из того, что 4x^2 − 4x + 1 = (2x − 1)^2 ≥ 0 для любых x, с равенством только при x = 1/2.