Реши задачу сторона AB треугольника ABC вдвое больше стороны AC и угол A=60°. найдите угол C без синусов
Решение без синусов (с помощью закона cosinus)
Дано: AB = 2 · AC, угол A = 60°. Обозначим AC = b, тогда AB = c = 2b, BC = a.
Найдём a через b и параметры угла A. По закону косинусов в треугольнике ABC при угле A: a^2 = AB^2 + AC^2 − 2·AB·AC·cos A cos 60° = 1/2, AB = 2b, AC = b a^2 = (2b)^2 + b^2 − 2·(2b)·b·(1/2) = 4b^2 + b^2 − 2b^2 = 3b^2 Следовательно a = √3 · b.
Найдём угол C, используя закон косинусов для стороны AB (против угла C): AB^2 = BC^2 + AC^2 − 2·BC·AC·cos C (2b)^2 = (√3 b)^2 + b^2 − 2·(√3 b)·b·cos C 4b^2 = 3b^2 + b^2 − 2√3 b^2 cos C 4b^2 = 4b^2 − 2√3 b^2 cos C 0 = −2√3 b^2 cos C ⇒ cos C = 0
Значит, C = 90°.
Ответ: угол C равен 90°.
Дополнительно можно отметить, что тогда угол B будет 30° (потому что сумма углов равна 180°: 60° + 90° + 30° = 180°).
