Игральную кость бросают дважды. Являются ли независимыми события M «на второй кости выпало больше двух очков» и N «сумма очков равна семи»?

Выясним, являются ли события M и N независимыми для двух бросков стандартной шестигранной кости (каждое сочетание двух бросков имеет вероятность 1/36).

• Определения:
  • M: на второй кости выпало больше двух очков (то есть 3, 4, 5 или 6).
  • N: сумма очков равна 7.

1. Вероятность M

• Второй бросок может быть 3, 4, 5 или 6 (4 варианта), первый бросок имеет 6 вариантов.
• Всего исходов 6×4 = 24 из 36.
• P(M) = 24/36 = 2/3.

2. Вероятность N

• Сумма равна 7: пары (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) — 6 исходов.
• P(N) = 6/36 = 1/6.

3. Вероятность пересечения M ∩ N

• Из пар, сумма которых равна 7, и смотрим на вторую кость > 2:
  • (1,6), (2,5), (3,4), (4,3) — 4 исхода.
• P(M ∩ N) = 4/36 = 1/9.

4. Сравнение P(M)P(N) и P(M ∩ N)

• P(M)P(N) = (2/3)·(1/6) = 2/18 = 1/9.
• P(M ∩ N) = 1/9.

Так как P(M ∩ N) = P(M)P(N), события M и N независимы.

Дополнительное подтверждение:

• Условная вероятность P(M|N) = P(M ∩ N) / P(N) = (4/36) / (6/36) = 4/6 = 2/3 = P(M). Значит, M и N независимы.