В основании прямой призмы MNKM1N1K1 лежит треугольник MNK, в котором угол K = 90° NK = 6, МК = 8. Угол между плоскостями MNK и MNK1 равен 45° Найдите площадь боковой поверхности…

Решение детально пошагово.

1. Найдём стороны треугольника MNK в основании.

• Угол K = 90°, NK = 6, MK = 8.
• Тогда MN = sqrt(NK^2 + MK^2) = sqrt(6^2 + 8^2) = sqrt(36 + 64) = 10.

2. Зададим координаты для удобства.

• Пусть основание лежит в плоскости z = 0.
• Поместим K в точку (0, 0, 0), N в (6, 0, 0) и M в (0, 8, 0). Тогда MN = 10, NK = 6, MK = 8.
• Высота призмы h задаёт положение вершины верхнего основания: K1 = (0, 0, h), N1 = (6, 0, h), M1 = (0, 8, h).

3. Найдём угол между плоскостью MNK и плоскостью MNK1.

• Плоскость MNK лежит в базовой плоскости z = 0, её нормаль n0 = (0, 0, 1).

• Плоскость MNK1 определяется точками M(0,8,0), N(6,0,0), K1(0,0,h). Возьмём два её вектора: u = N – M = (6, -8, 0), v = K1 – M = (0, -8, h).

• Вектор-нормаль к плоскости MNK1: n = u × v. Compute: n = |i j k| |6 -8 0| |0 -8 h| = (-8h, -6h, -48). Значит n = (-8h, -6h, -48).

• Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормалями. Поэтому cos φ = |n · n0| / (|n| |n0|) = |(-8h, -6h, -48) · (0,0,1)| / (√((-8h)^2 + (-6h)^2 + (-48)^2) · 1) = 48 / √(64h^2 + 36h^2 + 2304) = 48 / √(100h^2 + 2304).

• По условию φ = 45°, значит cos φ = √2/2. Следовательно: 48 / √(100h^2 + 2304) = √2 / 2. => √(100h^2 + 2304) = 48 * 2 / √2 = 48√2. Возводим в квадрат: 100h^2 + 2304 = (48√2)^2 = 4608. => 100h^2 = 4608 - 2304 = 2304. => h^2 = 23.04, значит h = 4.8 (положительное).

4. Площадь боковой поверхности призмы.

• Боковая поверхность состоит из трёх прямоугольников, общая площадь равна периметру основания умножить на высоту: S_bок = P_base × h.
• Периметр основания MNK: MN + NK + KM = 10 + 6 + 8 = 24.
• Подставляем h = 4.8: S_bок = 24 × 4.8 = 115.2. Это можно записать как 576/5.

Ответ: площадь боковой поверхности призмы равна 115,2 квадратных единиц (или 576/5).