5. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что DBC = 28°, ABD=64° и BDA=36°. Найти углы четырехугольника

Решение по шагам.

Даны углы, связанные с окружностью, вписанной в четырехугольник ABCD:

• ∠DBC = 28° — вписанный угол, опирается на дугу DC. Значит дуга DC = 2·28° = 56°.
• ∠ABD = 64° — вписанный угол, опирается на дугу AD. Значит дуга AD = 2·64° = 128°.
• ∠BDA = 36° — вписанный угол, опирается на дугу BA. Значит дуга BA = 2·36° = 72°.

Обозначим дуги между соседними вершинами по порядку вокруг окружности: AB, BC, CD, DA. Тогда сумма всех дуг равна 360°: AB + BC + CD + DA = 360°.

Из известных значений имеем AB = 72°, CD = 56°, DA = 128°. Значит BC = 360° − (72° + 56° + 128°) = 104°.

Теперь найдем искомые углы четырехугольника (вписанные углы):

• ∠A = ∠DAB — вписанный угол, опирается на дугу DB (дуга DB не содержит A). Дуга DB состоит из BC и CD, поэтому DB = BC + CD = 104° + 56° = 160°. Следовательно, ∠A = 1/2 · 160° = 80°.
• ∠B = ∠ABC — вписанный угол, опирается на дугу AC. Дуга AC не содержит B — это дуга A–D–C, равная AD + DC = 128° + 56° = 184°. Следовательно, ∠B = 1/2 · 184° = 92°.
• ∠C = ∠BCD — вписанный угол, опирается на дугу BD. Дуга BD не содержит C — это дуга B–A–D, равная AB + AD = 72° + 128° = 200°. Следовательно, ∠C = 1/2 · 200° = 100°.
• ∠D = ∠CDA — вписанный угол, опирается на дугу CA. Дуга CA не содержит D — это дуга C–B–A, равная CB + BA = 104° + 72° = 176°. Следовательно, ∠D = 1/2 · 176° = 88°.

Ответ: ∠A = 80°, ∠B = 92°, ∠C = 100°, ∠D = 88°. Эти углы удовлетворяют свойству вписанного quadrilateral: противоположные углы суммируются до 180°.