Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что ∠DBC=28°, ∠ABD=64° и ∠BDA=36°. Найти углы четырёхугольника.

Задача решается по свойству вписанного многоугольника и теореме о вписанных углах.

Даны: ABCD вписан в окружность; ∠DBC = 28°, ∠ABD = 64°, ∠BDA = 36°.

1. По теореме о вписанных углах:

• ∠ABD = 64° — это вписанный угол, который опирается на дугу AD (дуга AD не содержащую B). Значит дуга AD = 2·64° = 128°.
• ∠DBC = 28° — вписанный угол на дуге DC (дуга DC не содержащая B). Значит дуга DC = 2·28° = 56°.
• ∠BDA = 36° — вписанный угол на дуге BA (дуга BA не содержащая D). Значит дуга BA = 2·36° = 72°.

2. Обозначим дуги по порядку вокруг окружности: AB, BC, CD, DA. Из предыдущего:

• AB = 72°
• CD = 56°
• DA = 128° Остаток для полной окружности: AB + BC + CD + DA = 360°, поэтому BC = 360° − (72° + 56° + 128°) = 360° − 256° = 104°.

3. Теперь найдём искомые углы многоугольника ABCD (все они вписанные; каждый угол равен половине дуги, противоположной этому углу):

• Угол A = ∠DAB. Он опирается на дугу DB, не содержащую A. Дуга DB = дуги DC + CB = 56° + 104° = 160°. Значит ∠A = 160°/2 = 80°.
• Угол B = ∠ABC. Он опирается на дугу AC, не содержащую B. Дуга AC = дуги AD + DC = 128° + 56° = 184°. Значит ∠B = 184°/2 = 92°.
• Угол C = ∠BCD. Он опирается на дугу BD, не содержащую C. Дуга BD = дуги BA + AD = 72° + 128° = 200°. Значит ∠C = 200°/2 = 100°.
• Угол D = ∠CDA. Он опирается на дугу CA, не содержащую D. Дуга CA = дуги CB + BA = 104° + 72° = 176°. Значит ∠D = 176°/2 = 88°.

4. Проверка: суммы углов квадрилатераля = 80° + 92° + 100° + 88° = 360°, что верно. Также ∠A + ∠C = 80° + 100° = 180°, ∠B + ∠D = 92° + 88° = 180°, что соответствует свойству вписанного четырехугольника.

Ответ: Углы ABCD равны: ∠A = 80°, ∠B = 92°, ∠C = 100°, ∠D = 88°.