у‘+у cos x=cos x укажи тип и реши подробно

Тип уравнения: линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида y' + p(x) y = q(x), здесь p(x) = cos x, q(x) = cos x.

Решение подробно:

1. Найдем интегрирующий множитель μ(x) = exp(∫ p(x) dx) = exp(∫ cos x dx) = e^{sin x}.

2. Домножим уравнение на μ(x): e^{sin x} y' + e^{sin x} cos x · y = e^{sin x} cos x. Левая часть равна производной μ(x)·y: (e^{sin x} y)'.

3. Интегрируем: (e^{sin x} y)' = e^{sin x} cos x ⇒ e^{sin x} y = ∫ e^{sin x} cos x dx + C.

   Проводим подстановку: пусть u = sin x, du = cos x dx. Тогда ∫ e^{sin x} cos x dx = ∫ e^{u} du = e^{u} + C = e^{sin x} + C.

   Значит: e^{sin x} y = e^{sin x} + C.

4. Найдём y: y(x) = 1 + C e^{-sin x}.

Проверка (наглядная проверка подстановкой): y' = -C e^{-sin x} · cos x. y' + y cos x = (-C e^{-sin x} cos x) + (1 + C e^{-sin x}) cos x = cos x. Проверка верна.

Итого:

• Тип: линейное ОДУ 1-го порядка, линейное по y.
• Общее решение: y(x) = 1 + C e^{-sin x}, где C — произвольная константа.
• Частное решение (если C = 0): y(x) = 1.