В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 9 головок сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 7, и доели…

Решение по шагам.

1. Обозначим переменные

• Пусть в первую ночь было m мышей.
• Каждая мышь съела за первую ночь a голов сыра, тогда m · a = 9, значит a = 9/m.
• Во вторую ночь пришло 7 мышей, каждая съела a/3 голов (поскольку во вторую ночь съели в три раза меньше на каждую мышь).

2. Запишем равенство по количеству съеденного и оставшемуся сыру

• Всего сыра до начала: N голов.
• После первой ночи осталось N − 9 голов.
• За вторую ночь съели: 7 · (a/3) = 7a/3 голов.
• Следовательно: N − 9 = 7a/3. Подставим a = 9/m: N − 9 = 7 · (9/m) / 3 = 21/m. Значит N = 9 + 21/m.

3. Поиск целого решения

• Чтобы N было целым числом, m должно делить 21. Но дополнительно учитываем, что за первую ночь всего должно быть целыми головками на каждого мышонка: a = 9/m целое. Это ограничивает m делителями 9.
• Возможные m при условии "мышки" во множественном числе и целых a: m ∈ {3, 9}.

Проверим варианты:

• m = 3: N = 9 + 21/3 = 9 + 7 = 16. Тогда в первую ночь 3 мыши по 3 головки, во вторую ночь 7 мышей по 1 головке. Всё целое и совпадает.
• m = 9: N = 9 + 21/9 = 9 + 7/3 = 34/3, не целое число, значит противоречит условию.

4. Вывод Единственное целое решение: в погребе было 16 голов сыра.

Ответ: 16 голов сыра.