В погребе хранилось несколько головок сыра. Ночью пришли мышки и съели 9 головок сыра, причём все съели поровну. Следующей ночью пришли не все мышки, а только 7, и доели оставшийся сыр, но каждая мышка съела в три раза меньше сыра, чем накануне. Сколько головок сыра хранилось в погребе?

Решение по шагам. 1) Обозначим переменные - Пусть в первую ночь было m мышей. - Каждая мышь съела за первую ночь a голов сыра, тогда m · a = 9, значит a = 9/m. - Во вторую ночь пришло 7 мышей, каждая съела a/3 голов (поскольку во вторую ночь съели в три раза меньше на каждую мышь). 2) Запишем равенство по количеству съеденного и оставшемуся сыру - Всего сыра до начала: N голов. - После первой ночи осталось N − 9 голов. - За вторую ночь съели: 7 · (a/3) = 7a/3 голов. - Следовательно: N − 9 = 7a/3. Подставим a = 9/m: N − 9 = 7 · (9/m) / 3 = 21/m. Значит N = 9 + 21/m. 3) Поиск целого решения - Чтобы N было целым числом, m должно делить 21. Но дополнительно учитываем, что за первую ночь всего должно быть целыми головками на каждого мышонка: a = 9/m целое. Это ограничивает m делителями 9. - Возможные m при условии "мышки" во множественном числе и целых a: m ∈ {3, 9}. Проверим варианты: - m = 3: N = 9 + 21/3 = 9 + 7 = 16. Тогда в первую ночь 3 мыши по 3 головки, во вторую ночь 7 мышей по 1 головке. Всё целое и совпадает. - m = 9: N = 9 + 21/9 = 9 + 7/3 = 34/3, не целое число, значит противоречит условию. 4) Вывод Единственное целое решение: в погребе было 16 голов сыра. Ответ: 16 голов сыра.