y = { 2 x 2 , если x ≤ 0 − 1 2 x 2 , если x > 0 y={ 2x 2 , − 2 1 x 2 , если x≤0 если x>0
Дано задание: рассмотреть функцию y по определению
y = { 2x^2, если x ≤ 0; -(1/2)x^2, если x > 0 }.
(Если правая часть в задаче была записана иначе, напишите точный вид, и я подстрою решение.)
Цель: понять поведение функции. Выпишем подробное пошаговое решение.
- Область определения
- Функция определена для всех действительных x. Область: R.
- Непрерывность в точке x = 0
- Левая ветвь при x → 0−: y = 2x^2 → 0.
- Правая ветвь при x → 0+ : y = -(1/2)x^2 → 0.
- Значение в самой точке: y(0) = 2·0^2 = 0. Итак, левая и правая плашки сходятся к 0, и y(0) = 0. Функция непрерывна в x = 0.
Следовательно, функция непрерывна на всей оси.
- Производные (дифференцируемость)
- Для x < 0: y = 2x^2, поэтому dy/dx = 4x.
- Для x > 0: y = -(1/2)x^2, поэтому dy/dx = -x.
Поведение производной в точке 0:
- Слева: предел производной как x → 0− равен 4x при x → 0−, то есть 0.
- Справа: предел производной как x → 0+ равен -x при x → 0+, то есть 0. Так как левая и правая производные стремятся к одному значению 0, производная существует в x = 0 и равна 0.
Итого, производная по кускам: y' = { 4x, если x < 0; 0, если x = 0; -x, если x > 0 }.
Функция следовательно дифференцируема на всей прямой (она относится к классу C1).
- Вторые производные (повторная гладкость)
- Для x < 0: y'' = 4.
- Для x > 0: y'' = -1.
В точке x = 0 левая и правая вторые производные не совпадают, следовательно y не имеет второй производной в самой точке 0. Можно сказать, что функция кратна гладкости C1, но не C2 в точке 0.
- Монотность и крайние значения
- На интервале (-∞, 0): y' = 4x < 0 для x < 0, значит функция строго убывающая на (-∞, 0).
- На интервале (0, ∞): y' = -x < 0 для x > 0, значит функция строго убывающая на (0, ∞).
- В точке 0 переход плавный по первому приближению (производная слева и справа стремится к 0).
Итого, функция является строго убывающей на всей числовой оси.
Крайние значения:
- Предел при x → -∞: y → +∞ (ведь 2x^2 растёт без ограничений).
- Предел при x → +∞: y → -∞ (ведь -(1/2)x^2 стремится к минус бесконечности).
- В конечной точке x = 0 значение y равно 0.
Таким образом, у функции нет конечного глобального максимума или минимума; она непременно уменьшается от +∞ до -∞ по мере роста x.
- Краткое описание графика
- Левая ветвь: парабола, распахнутая вверх, на участке x ≤ 0, проходит через точку (0,0).
- Правая ветвь: парабола, распахнутая вниз, на участке x > 0, также через точку (0,0).
- В точке x = 0 обе ветви совпадают по значению и первая производная существует и равна 0, поэтому график гладко "стыкуется" на оси x, хотя вторая производная имеет разрыв.
Если нужна проверка конкретной точки или построение графика, скажите номер точки — посчитаю. Также, если в исходной задаче правая часть была записана иначе (например, коэффициент не 1/2 или знак другой), пришлите точный вид — адаптирую решение.
