Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро которой равна 12 см и образует с плоскостью основание угол 45°
Разберём задачу по стандартной схеме для правильной квадратной пирамиды (основание — квадрат стороны a, высота h, боковые ребра длиной l).
Дано:
- боковое ребро l = 12 см
- угол между боковым ребром и плоскостью основания θ = 45°
- Введём обозначения
- a — сторона основания (квадрата)
- h — высота пирамиды (расстояние апекса до плоскости основания)
- r — расстояние от центра основания до любой вершины основания. Для квадрата r = a/√2 (половина диагонали).
Связь между высотой и расстоянием на основании Линия бокового ребра идёт от вершины пирамиды к вершине основания. В треугольнике, образованном вершиной, центром основания и вершиной основания, угол между боковым ребром и плоскостью основания удовлетворяет: tan θ = h / r Так как θ = 45°, то tan 45° = 1, значит h = r.
Связь между l, h и r По пи капитализации в треугольнике, образованном боковым ребром и высотой, имеем: l^2 = h^2 + r^2 С учётом h = r получаем: l^2 = 2 r^2 ⇒ r = l / √2, и следовательно h = l / √2.
Найдём сторону основания a r = a/√2, значит a/√2 = l/√2 ⇒ a = l. Так что a = 12 см.
Найдём высоту h = l/√2 = 12/√2 = 6√2 см.
Объём правильной квадратной пирамиды V = (1/3) · S основание · h = (1/3) · a^2 · h. Подставим a = 12 и h = 6√2: V = (1/3) · 144 · 6√2 = 48 · 6√2 = 288√2 см³.
Численно: V ≈ 288 · 1.4142 ≈ 408 см³.
Ответ: объём правильной четырехугольной (квадратной) пирамиды равен 288√2 см³ ≈ 4.08·10^2 см³.
