X^2-(a-1)*x+(a+2)(a-1)=0

Задача: решить уравнение x^2 - (a-1) x + (a+2)(a-1) = 0, где параметр a. Пошаговое решение и пояснения 1) Приведем к стандартному квадратному виду - А = 1, B = -(a-1), C = (a+2)(a-1). - Уравнение: x^2 + B x + C = 0. 2) Найдем дискриминант - D = B^2 - 4AC. - B^2 = (a-1)^2, 4AC = 4·1·(a+2)(a-1) = 4(a+2)(a-1). - D = (a-1)^2 - 4(a+2)(a-1) = (a-1)[(a-1) - 4(a+2)]. - Упростим внутри скобок: (a-1) - 4a - 8 = -3a - 9 = -3(a+3). - Значит D = -3(a-1)(a+3). 3) Условия на вещественные корни - Чтобы уравнение имело вещественные корни, D ≥ 0. - D = -3(a-1)(a+3) ≥ 0 эквивалентно (a-1)(a+3) ≤ 0. - Это верно при a ∈ [-3, 1]. 4) Формула корней - Корни вообще: x = [ (a-1) ± sqrt(D) ] / 2. - Так как D = -3(a-1)(a+3), можно записать для вещественных корней (при a ∈ [-3, 1]): x = [ (a-1) ± sqrt{ 3 (1 - a) (a + 3) } ] / 2. (здесь под корнем неотрицательное выражение потому что a ∈ [-3,1]) - Специальные случаи на концах промежутка: - a = 1: уравнение становится x^2 = 0, корень x = 0 (кратный корень). - a = -3: уравнение становится (x + 2)^2 = 0, корень x = -2 (кратный корень). 5) Что если a вне [-3, 1]? - D < 0, корни будут комплексные: x = [ (a-1) ± i sqrt{ 3 (a-1)(a+3) } ] / 2. (или x = [ (a-1) ± i sqrt{-D} ] / 2, где -D = 3(a-1)(a+3) > 0) 6) Коротко о смысле - Сумма корней равна a-1. - Произведение корней равно (a+2)(a-1). - В реальных условиях корни существуют только для a ∈ [-3, 1], причём на концах получаем кратные корни. Итог - Реальные корни для a ∈ [-3, 1]: x = [ (a-1) ± sqrt{ 3 (1 - a) (a + 3) } ] / 2. - Для a = -3 и a = 1 получаем кратные корни: x = -2 и x = 0 соответственно. - Для a за пределами [-3, 1] корни комплексны: x = [ (a-1) ± i sqrt{ 3 (a-1)(a+3) } ] / 2.