x^2-(a-1)*x+(a+2)(a-1)=0

Задача: решить уравнение x^2 - (a-1) x + (a+2)(a-1) = 0, где параметр a.

Пошаговое решение и пояснения

1. Приведем к стандартному квадратному виду

• А = 1, B = -(a-1), C = (a+2)(a-1).
• Уравнение: x^2 + B x + C = 0.

2. Найдем дискриминант

• D = B^2 - 4AC.
• B^2 = (a-1)^2, 4AC = 4·1·(a+2)(a-1) = 4(a+2)(a-1).
• D = (a-1)^2 - 4(a+2)(a-1) = (a-1)[(a-1) - 4(a+2)].
• Упростим внутри скобок: (a-1) - 4a - 8 = -3a - 9 = -3(a+3).
• Значит D = -3(a-1)(a+3).

3. Условия на вещественные корни

• Чтобы уравнение имело вещественные корни, D ≥ 0.
• D = -3(a-1)(a+3) ≥ 0 эквивалентно (a-1)(a+3) ≤ 0.
• Это верно при a ∈ [-3, 1].

4. Формула корней

• Корни вообще: x = [ (a-1) ± sqrt(D) ] / 2.
• Так как D = -3(a-1)(a+3), можно записать для вещественных корней (при a ∈ [-3, 1]): x = [ (a-1) ± sqrt{ 3 (1 - a) (a + 3) } ] / 2. (здесь под корнем неотрицательное выражение потому что a ∈ [-3,1])
• Специальные случаи на концах промежутка:
  • a = 1: уравнение становится x^2 = 0, корень x = 0 (кратный корень).
  • a = -3: уравнение становится (x + 2)^2 = 0, корень x = -2 (кратный корень).

5. Что если a вне [-3, 1]?

• D < 0, корни будут комплексные: x = [ (a-1) ± i sqrt{ 3 (a-1)(a+3) } ] / 2. (или x = [ (a-1) ± i sqrt{-D} ] / 2, где -D = 3(a-1)(a+3) > 0)

6. Коротко о смысле

• Сумма корней равна a-1.
• Произведение корней равно (a+2)(a-1).
• В реальных условиях корни существуют только для a ∈ [-3, 1], причём на концах получаем кратные корни.

Итог

• Реальные корни для a ∈ [-3, 1]: x = [ (a-1) ± sqrt{ 3 (1 - a) (a + 3) } ] / 2.
• Для a = -3 и a = 1 получаем кратные корни: x = -2 и x = 0 соответственно.
• Для a за пределами [-3, 1] корни комплексны: x = [ (a-1) ± i sqrt{ 3 (a-1)(a+3) } ] / 2.