|z-(1+2i)|=4

Задача: |z − (1 + 2i)| = 4

Пошаговое решение:

• Пусть z = x + iy, где x и y — действительные числа.

• Выражение |z − (1 + 2i)| равно модулю разности координат: |(x + iy) − (1 + 2i)| = sqrt((x − 1)² + (y − 2)²).

• Задача говорит, что это равно 4, поэтому sqrt((x − 1)² + (y − 2)²) = 4. Так как левая часть неотрицательна, можно возвести в квадрат без изменения решения: (x − 1)² + (y − 2)² = 16.

• Это уравнение окружности в комплексной плоскости: центр окружности в точке (1, 2) (то есть на комплексной плоскости это z = 1 + 2i), радиус 4.

• Эквивалентные формулировки:

  • z может быть записано как z = 1 + 2i + 4e^{iθ}, где θ — произвольное real число (0 ≤ θ < 2π).
  • или в координатах: x = 1 + 4 cos θ, y = 2 + 4 sin θ, при θ ∈ ℝ.

• Примеры точек на окружности:

  • при θ = 0: z = 5 + 2i
  • при θ = π/2: z = 1 + 6i
  • при θ = π: z = −3 + 2i
  • при θ = 3π/2: z = 1 − 2i

Итог: множество решений — это окружность центра 1 + 2i радиуса 4. Формальные формы записи: (x − 1)² + (y − 2)² = 16 или z = 1 + 2i + 4e^{iθ}, θ ∈ ℝ.