Составьте уравнение плоскости, проходящей через точку C и перпен- дикулярной прямой CD, если C (4; 1; −1), D (7; −2; 5).

Для составления уравнения плоскости, проходящей через точку \( C \) и перпендикулярной прямой \( CD \), необходимо найти вектор, направленный вдоль прямой \( CD \). Этот вектор будет нормальным вектором искомой плоскости.

Напомню, что нормальный вектор плоскости — это вектор, перпендикулярный плоскости. Вектор \( CD \) найдем как разность координат точек \( D \) и \( C \), то есть:

\( CD = D - C \)

Подставляя координаты точек \( C \) и \( D \), получаем:

\( CD = (7 - 4; -2 - 1; 5 - (-1)) \) \( CD = (3; -3; 6) \)

Этот вектор является нормальным вектором плоскости. Уравнение плоскости с нормальным вектором \( (A; B; C) \) и проходящей через точку \( (x_0; y_0; z_0) \) имеет вид:

\( A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 \)

Где \( A, B, C \) — координаты нормального вектора, а \( (x_0; y_0; z_0) \) — координаты точки, через которую проходит плоскость. Подставляя полученный вектор \( CD \) и точку \( C \), получаем:

\( 3(x - 4) - 3(y - 1) + 6(z - (-1)) = 0 \)

Раскроем скобки:

\( 3x - 12 - 3y + 3 + 6z + 6 = 0 \)

Упростим уравнение:

\( 3x - 3y + 6z - 3 = 0 \)

Данное уравнение и будет представлять собой уравнение плоскости, проходящей через точку \( C \) и перпендикулярной прямой \( CD \).