Для составления уравнения плоскости, проходящей через точку ( C ) и перпендикулярной прямой ( CD ), необходимо найти вектор, направленный вдоль прямой ( CD ). Этот вектор будет нормальным вектором искомой плоскости.
Напомню, что нормальный вектор плоскости — это вектор, перпендикулярный плоскости. Вектор ( CD ) найдем как разность координат точек ( D ) и ( C ), то есть:
( CD = D - C )
Подставляя координаты точек ( C ) и ( D ), получаем:
( CD = (7 - 4; -2 - 1; 5 - (-1)) )
( CD = (3; -3; 6) )
Этот вектор является нормальным вектором плоскости. Уравнение плоскости с нормальным вектором ( (A; B; C) ) и проходящей через точку ( (x_0; y_0; z_0) ) имеет вид:
( A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0 )
Где ( A, B, C ) — координаты нормального вектора, а ( (x_0; y_0; z_0) ) — координаты точки, через которую проходит плоскость. Подставляя полученный вектор ( CD ) и точку ( C ), получаем:
( 3(x - 4) - 3(y - 1) + 6(z - (-1)) = 0 )
Раскроем скобки:
( 3x - 12 - 3y + 3 + 6z + 6 = 0 )
Упростим уравнение:
( 3x - 3y + 6z - 3 = 0 )
Данное уравнение и будет представлять собой уравнение плоскости, проходящей через точку ( C ) и перпендикулярной прямой ( CD ).
