Для составления уравнения касательной к графику функции в точке x0 необходимо найти значение функции f(x) в этой точке и производную функции в этой же точке.
Давайте сначала найдем значение функции в точке x0=2:
f(2) = ln(3*2 − 5) = ln(1) = 0.
Теперь найдем производную f'(x) функции f(x):
f'(x) = d/dx [ln(3x − 5)].
Используя правило дифференцирования сложной функции (производная натурального логарифма ln(u(x)) равна u'(x)/u(x)), получим:
f'(x) = 1 / (3x − 5) * d/dx [3x − 5] = 1 / (3x − 5) * 3 = 3 / (3x − 5).
Теперь найдем значение производной в точке x0=2:
f'(2) = 3 / (3*2 − 5) = 3 / 1 = 3.
Теперь у нас есть все, что нужно для записи уравнения касательной. Уравнение касательной к функции в точке x0 имеет вид:
y - f(x0) = f'(x0)(x - x0).
Подставим наши значения в это уравнение:
y - 0 = 3(x - 2).
Упростим уравнение:
y = 3x - 6.
Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) = ln(3x − 5) в точке с абсциссой x0 = 2 будет иметь вид:
y=3x-6.
