Длины всех ребер правильной четырёхугольной пирамиды PABCD с вершиной P равны между собой. Точка M  — середина бокового ребра пирамиды AP. а)  Докажите, что плоскость, проходящая через точки B и M и перпендикулярная плоскости BDP, делит высоту пирамиды пополам. б)  Найдите угол между прямой BM и плоскостью BDP

а) Докажем, что высота пирамиды делится пополам. Пусть O - точка пересечения прямой BM и плоскости ABC. Тогда MO ∥ AP, так как MO - медиана треугольника ABP. Следовательно, MO делит боковое ребро на две равные части. Далее, так как BC ∥ MO, то MO делит ребро BC на две равные части. Получаем, что высота пирамиды делится пополам. б) Угол между прямой BM и плоскостью BDP равен углу между прямой BM и направляющим вектором плоскости BDP, который параллелен BP. Следовательно, угол равен углу между прямой BM и вектором BP.