Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы

Хорошо, давай вместе разберемся с этой задачей. Нам нужно исследовать функцию \( y = 4 \ln x - \frac{x^2}{2} \) на монотонность и экстремумы. Чтобы это сделать, нужно проделать несколько шагов:

1. Найти производную функции.
2. Проверить, в каких точках производная равна нулю или не существует, поскольку это потенциальные точки экстремума.
3. Используя производную, определить интервалы монотонности.
4. Изучить знаки производной по обе стороны от критических точек, чтобы определить, что это за экстремумы (максимум или минимум).

Итак, начнем с первого шага. Найдем производную функции по x:

\( y' = \frac{d}{dx}(4 \ln x - \frac{x^2}{2}) \)

Производная от \( \ln x \) равна \( \frac{1}{x} \), а производная от \( \frac{x^2}{2} \) равна \( x \). Подставим их в уравнение:

\( y' = 4 \cdot \frac{1}{x} - x \)

Теперь упростим выражение:

\( y' = \frac{4}{x} - x \)

Теперь перейдем ко второму шагу. Найдем точки, где производная равна нулю:

\( 0 = \frac{4}{x} - x \)

Домножим обе стороны на x, чтобы избавиться от дроби:

\( 0 = 4 - x^2 \)

Теперь решим квадратное уравнение:

( x^2 =