Записать разложение бинома (1/2у-у)^8

Чтобы записать разложение бинома (1/2у-у)^8, мы можем воспользоваться формулой бинома Ньютона. Формула бинома Ньютона гласит: (a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n,n) * a^0 * b^n, где a и b - значения в скобках, n - степень разложения, а C(n,k) - число сочетаний из n по k (известное также как биномиальный коэффициент). В данном случае, a = 1/2у и b = -у, а n = 8. Давайте запишем все слагаемые разложения: (1/2у - у)^8 = C(8,0) * (1/2у)^8 * (-у)^0 + C(8,1) * (1/2у)^7 * (-у)^1 + C(8,2) * (1/2у)^6 * (-у)^2 + C(8,3) * (1/2у)^5 * (-у)^3 + C(8,4) * (1/2у)^4 * (-у)^4 + C(8,5) * (1/2у)^3 * (-у)^5 + C(8,6) * (1/2у)^2 * (-у)^6 + C(8,7) * (1/2у)^1 * (-у)^7 + C(8,8) * (1/2у)^0 * (-у)^8. Теперь давайте вычислим значения биномиальных коэффициентов C(n,k) и рассчитаем каждое слагаемое: C(8,0) = 1 C(8,1) = 8 C(8,2) = 28 C(8,3) = 56 C(8,4) = 70 C(8,5) = 56 C(8,6) = 28 C(8,7) = 8 C(8,8) = 1 Теперь вставим значения в разложение: (1/2у - у)^8 = 1 * (1/2у)^8 * (-у)^0 + 8 * (1/2у)^7 * (-у)^1 + 28 * (1/2у)^6 * (-у)^2 + 56 * (1/2у)^5 * (-у)^3 + 70 * (1/2у)^4 * (-у)^4 + 56 * (1/2у)^3 * (-у)^5 + 28 * (1/2у)^2 * (-у)^6 + 8 * (1/2у)^1 * (-у)^7 + 1 * (1/2у)^0 * (-у)^8. Теперь упростим каждое слагаемое: (1/2у)^8 = 1/256y^8, (1/2у)^7 = 1/128y^7, (1/2у)^6 = 1/64y^6, (1/2у)^5 = 1/32y^5, (1/2у)^4 = 1/16y^4, (1/2у)^3 = 1/8y^3, (1/2у)^2 = 1/4y^2, (1/2у)^1 = 1/2y, (-у)^8 = y^8, (-у)^7 = -y^7, (-у)^6 = y^6, (-у)^5 = -y^5, (-у)^4 = y^4, (-у)^3 = -y^3, (-у)^2 = y^2, (-у)^1 = -y, (-у)^0 = 1. Таким образом, разложение бинома (1/2у - у)^8 в упрощенном виде будет: (1/2у - у)^8 = 1/256y^8 - 1/64y^7 + 7/512y^6 - 7/128y^5 + 35/1024y^4 - 21/256y^3 + 35/512y^2 - 7/128y + 1/256y^8. Это и есть разложение бинома (1/2у - у)^8.