Все задачи

Посмотрим на задачи поочередно и попробуем их решить. 1. Нам нужно найти угол \( ABD \). У нас есть четырехугольник \( ABCD \), вписанный в окружность. Угол \( ABC \) равен 112°, а угол \( CAD \) равен 70°. Помним, что сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна 180°. Значит, угол \( ABD \) равен \( 180° - 70° = 110° \). 2. В задаче 2 нам нужно найти длину \( AD \). У трапеции \( ABCD \) основания \( AD \) и \( BC \), а стороны \( AB = 9 \), \( BC = 5 \), \( CD = 7 \). Так как трапеция описана около окружности, суммы длин противоположных сторон равны. То есть \( AD + BC = AB + CD \). Получаем \( AD + 5 = 9 + 7 \), откуда \( AD = 11 \). 3. Задача 3 требует найти угол на рисунке. У нас нет числовых данных, но мы видим, что величина угла обозначена как \( y \), и этот угол опирается на дугу, которая в два раза больше угла \( \alpha \) при основании. Угол при основании треугольника (здесь \( \alpha \)) вдвое меньше угла, опирающегося на ту же дугу из другой вершины треугольника (здесь \( y \)). То есть \( y = 2\alpha \). 4. Чтобы найти длину основания трапеции на рисунке, вспомним, что сумма углов в четырехугольнике равна 360°. Угол \( a \) и противолежащий ему угол при основании трапеции в сумме дают 180°, так как они образуют развернутый угол. Таким образом, два других угла тоже в сумме дают 180°. Так как углы при основании равны, у нас не хватает данных для определения длины основания только по углам. 5. Что касается задачи 5, то описать окружность вокруг четырехугольника можно только в том случае, если это вписанный четырехугольник. Чтобы четырехугольник был вписанным, суммы противоположных углов должны быть равны 180°. Если углы соотносятся как 2:3:4:5, то между ними нет равенства сумм двух противоположных пар. Таким образом, окружность описать вокруг такого четырехугольника нельзя.