Тест на тему интегралы

Ниже приведён тест по алгебре для 9 класса на тему: квадратичная функция, график и его свойства. Тип заданий: открытые вопросы. Количество вопросов: 5. Включены ответы.

1. Вопрос 1 Дана квадратичная функция f(x) = 2x^2 − 8x + 3. Найдите:

• вершину параболы и ось симметрии;
• направление ветвей;
• пересечения с осями координат (y-перехват и x-перехваты);
• диапазон значений функции.

2. Вопрос 2 Дана функция в канонической форме f(x) = 0.5 (x − 2)^2 − 1. Найдите:

• вершину и ось симметрии;
• направление ветвей;
• пересечения с осями (y-перехват и x-перехваты);
• диапазон значений функции.

3. Вопрос 3 Дана функция f(x) = x^2 − 4x. Найдите:

• вершину и ось симметрии;
• направление ветвей;
• пересечения с осями (y-перехват и x-перехваты);
• диапазон значений функции.

4. Вопрос 4 Парабола имеет вершину в точке (−1, −2) и пересекает ось y в точке y = 5. Найдите:

• уравнение параболы в канонической форме;
• приведите также эквивалентную ей стандартную форму (f(x) = ax^2 + bx + c);
• ось симметрии и направление ветвей.

5. Вопрос 5 Для функции f(x) = x^2 + 2x + 5 найдите:

• дискриминант D;
• число вещественных корней и их существование (если есть);
• вершину, ось симметрии и диапазон значений.

Ответы

1. Ответ к вопросу 1

• a = 2, b = −8, c = 3
• вершина x_v = −b/(2a) = −(−8)/(4) = 2; y_v = f(2) = 2·4 − 16 + 3 = −5 → вершина (2, −5)
• ось симметрии: x = 2
• направление ветвей: a > 0, значит парабола открывается вверх
• y-перехват: f(0) = 3
• x-перехваты: решаем 2x^2 − 8x + 3 = 0. D = (−8)^2 − 4·2·3 = 64 − 24 = 40; x = (8 ± √40)/(4) = (8 ± 2√10)/4 = (4 ± √10)/2 приближённо: x ≈ 0.419 и x ≈ 3.581
• диапазон: от минимального значения до бесконечности: [−5, ∞)

2. Ответ к вопросу 2

• f(x) = 0.5(x − 2)^2 − 1 → вершина (2, −1); ось симметрии: x = 2
• направление ветвей: a = 0.5 > 0 → вверх
• y-перехват: f(0) = 0.5(−2)^2 − 1 = 0.5·4 − 1 = 1
• x-перехваты: 0.5(x − 2)^2 − 1 = 0 → (x − 2)^2 = 2 → x = 2 ± √2 приблизительно: x ≈ 0.586 и x ≈ 3.414
• диапазон: [−1, ∞)

3. Ответ к вопросу 3

• f(x) = x^2 − 4x → a = 1, b = −4, c = 0
• вершина: x_v = −b/(2a) = −(−4)/2 = 2; y_v = f(2) = 4 − 8 = −4 → вершина (2, −4)
• ось симметрии: x = 2
• направление ветвей: a > 0 → вверх
• y-перехват: f(0) = 0
• x-перехваты: x(x − 4) = 0 → x = 0 и x = 4
• диапазон: [−4, ∞)

4. Ответ к вопросу 4

• вершина: (h, k) = (−1, −2)
• y-перехват: f(0) = 5
• каноническая форма: f(x) = a(x + 1)^2 − 2; подстановка f(0) = 5 даёт 5 = a·1^2 − 2 → a = 7 Значит: f(x) = 7(x + 1)^2 − 2
• стандартная форма: расширяем: 7(x^2 + 2x + 1) − 2 = 7x^2 + 14x + 7 − 2 = 7x^2 + 14x + 5
• ось симметрии: x = −1
• направление ветвей: вверх (a > 0)

5. Ответ к вопросу 5

• f(x) = x^2 + 2x + 5 → a = 1, b = 2, c = 5
• дискриминант: D = b^2 − 4ac = 4 − 20 = −16 < 0
• вещественных корней нет (есть комплексные); parabola открывается вверх
• вершина: x_v = −b/(2a) = −2/2 = −1; y_v = f(−1) = 1 − 2 + 5 = 4 → вершина (−1, 4)
• ось симметрии: x = −1
• диапазон значений: [4, ∞)

Тест по английскому языку для 8 класса: Условные предложения

1. If I ____(know) her phone number, I would call her.
2. If he ____(study) harder, he would get better grades.
3. If it ____(rain) tomorrow, we will stay indoors.
4. She would go to the party if she ____(have) time.
5. If you ____(ask) me nicely, I will help you.
6. If they ____(come) early, we could finish the project on time.
7. If the weather ____(be) nice, we will go for a picnic.
8. If I ____(be) you, I would apologize.
9. If she ____(know) the answer, she would raise her hand.
10. I would buy that car if I ____(have) enough money.
11. If they ____(invite) us, we will go to the concert.
12. If you ____(not eat) so much junk food, you would feel healthier.
13. If they ____(be) here now, they could help us.
14. If she ____(read) the book, she would understand the plot.
15. He would come with us if he ____(not be) busy.
16. If he ____(be) more careful, he wouldn't make so many mistakes.
17. If she ____(wake) up earlier, she wouldn't be late for school.
18. If you ____(work) harder, you could achieve your goals.
19. If it ____(snow) tomorrow, we will make a snowman.
20. If she ____(call) me, I will answer.

Примечание: Вставьте правильную форму глагола в пропущенное место.

Ответы к тесту будут доступны по запросу.

Успехов в подготовке к экзамену!