Тест на тему Present Simple - Present Continuous

Ниже представлен тест по теме "Треугольники" для 11 класса. Тип вопросов: открытые (схема решения ожидается). В конце каждого вопроса даны ответы/ключи к решениям.

1. В треугольнике ABC стороны a = 5, b = 7, c = 6. Найдите углы A, B и C (углы против сторон a, b, c соответственно).

• Ответ: A ≈ 44.4°, B ≈ 78.46°, C ≈ 57.14°. Обоснование: по теореме косинусов cos A = (b^2 + c^2 − a^2)/(2bc) и так далее.

2. Докажите, что сумма углов любого треугольника равна 180°.

• Ответ: доказательство стандартное: можно опустить одну высоту или воспользоваться параллельными линиями и суммой углов при пересечении трансверзиями, либо через геометрическую площадь (площадь как половина произведения основания на высоту) и разложение на соседние треугольники.

3. Площадь треугольника со сторонами 13, 14, 15.

• Ответ: s = (13+14+15)/2 = 21; K = sqrt(21·8·7·6) = sqrt(7056) = 84.

4. Треугольник со сторонами 8, 15, 17. Докажите, что он прямоугольный, и найдите его площадь.

• Ответ: 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2, значит прямоугольник. Площадь = (1/2)·8·15 = 60.

5. Радиус вписанной окружности треугольника со сторонами 5, 5, 6.

• Ответ: сначала найдём площадь K по формуле Герона: s = 8, K = sqrt(8·3·3·2) = sqrt(144) = 12. Then R (радиус вписанной окружности) не нужен здесь — требуется радиус описанной окружности. Для описанной окружности R = abc/(4K) = (5·5·6)/(4·12) = 150/48 = 25/8 = 3.125. (Если спрашивался именно Rописанной, то 3.125.)

6. Найдите координаты инцентрa треугольника с вершинами A(0,0), B(4,0), C(0,3).

• Ответ: I(1, 1). Обоснование: стороны против A, B, C равны a = BC = 5, b = CA = 3, c = AB = 4; инцентр имеет координаты (ax_A + bx_B + cx_C)/(a+b+c), и аналогично по y.

7. В треугольнике со сторонами a = 7, b = 8, c = 9 найдите высоту h_c, опущенную на сторону c (то есть на сторону длиной 9).

• Ответ: площадь K треугольника через Герон: s = 12, K = sqrt(12·5·4·3) = sqrt(720) = 12√5. Тогда h_c = 2K/c = 2·12√5 / 9 = 8√5/3 ≈ 5.9628.

8. В треугольнике высота AH, опущенная на основание BC, равна 4.5, основание BC равно 9. Найдите площадь треугольника.

• Ответ: S = (1/2)·BC·AH = (1/2)·9·4.5 = 20.25.

9. Найдите центр массы (центр тяжести) треугольника с вершинами A(0,0), B(6,0), C(2,4).

• Ответ: G = ((0+6+2)/3, (0+0+4)/3) = (8/3, 4/3) ≈ (2.667, 1.333).

10. В равнобедренном треугольнике AB = AC = 5, угол при вершине A равен 40°. Найдите длину основания BC.

• Ответ: BC^2 = AB^2 + AC^2 − 2·AB·AC·cos∠A = 25 + 25 − 50 cos 40° = 50(1 − cos 40°). Численно BC ≈ sqrt(11.6978) ≈ 3.424.

11. Радиус вписанной окружности треугольника 13, 14, 15.

• Ответ: K = 84, s = (13+14+15)/2 = 21; r = K/s = 84/21 = 4.

12. Доказать формулу площади треугольника через две стороны и угол между ними: S = 1/2 ab sin C.

• Ответ: Пусть стороны a и b образуют угол C. Опустим высоту h на сторону a. Тогда S = (1/2)·a·h, а h = b sin C (проекция стороны b на высоту к a). Тогда S = (1/2)ab sin C. Можно привести ещё одно геометрическое доказательство через построение параллельной линии или через векторный подход.

13. Площадь треугольника ABC, если AB = 7, AC = 9, угол ∠A = 60°.

• Ответ: S = (1/2)·AB·AC·sin ∠A = (1/2)·7·9·sin 60° = (63/2)·(√3/2) = 63√3/4 ≈ 27.28.

14. Прямоугольный треугольник с вершинами A(0,0), B(4,0), C(0,3). Найдите координаты ортоцентра.

• Ответ: Так как треугольник прямоугольный в вершине A, ортоцентр совпадает с вершиной A: H = A = (0,0).

15. Докажите, что три медианы треугольника пересекаются в одной точке (центроид) и что отношение от вершины к центроиду внутри медианы равно 2:1. Пример для треугольника A(0,0), B(6,0), C(2,4).

• Ответ: Центроид G = (8/3, 4/3). На каждой медиане от вершины до середины противоположной стороны точка G делит медиану в отношении 2:1 (AG:GM = 2:1). Можно показать по формулам или графически.

16. Найдите длины трёх медиан треугольника с вершинами A(0,0), B(6,0), C(2,4).

• Ответ:
  • m_a (медиана к стороне BC): расстояние от A до середины BC; середина BC = ((6+2)/2, (0+4)/2) = (4,2); m_a = |A–M_BC| = sqrt(4^2 + 2^2) = sqrt(20) = 2√5 ≈ 4.472.
  • m_b (к стороне AC): середина AC = ((0+2)/2, (0+4)/2) = (1,2); m_b = |B–M_AC| = sqrt((6−1)^2 + (0−2)^2) = sqrt(25+4) = sqrt(29) ≈ 5.385.
  • m_c (к стороне AB): середина AB = ((0+6)/2, (0+0)/2) = (3,0); m_c = |C–M_AB| = sqrt((2−3)^2 + (4−0)^2) = sqrt(1+16) = sqrt(17) ≈ 4.123.

17. Докажите по SAS, что два треугольника равны, если две стороны треугольников равны и угол между ними равен.

• Ответ: Рассмотрим ΔABC и ΔA'B'C' с AB = A'B', AC = A'C' и ∠A = ∠A'. По теореме SAS эти треугольники являются конгруэнтными (соответствующие стороны и включённый угол равны). Доказательство даётся через построение сопоставления сторон и углов и применение теоремы о равенстве треугольников по двум сторонам и включённому углу (классическая SAS-гомогенность).

18. Найдите площадь треугольника со сторонами 9, 10, 17.

• Ответ: s = 18; K = sqrt(18·9·8·1) = sqrt(1296) = 36.

19. Найдите площадь треугольника, если основание BC = 20, высота к этому основанию AH = 12.

• Ответ: S = (1/2)·20·12 = 120.

20. Доказать, что треугольник со сторонами 9, 40, 41 является прямоугольным, и найти его площадь.

• Ответ: 9^2 + 40^2 = 81 + 1600 = 1681 = 41^2, следовательно, прямоугольный. Площадь = (1/2)·9·40 = 180.

Если нужно, могу адаптировать уровень сложности, добавить или убрать проблемные блоки (теория+задачи на вычисление площади, длины сторон, координатные задачи и т. п.), или оформить тест в виде документа (приложение) для печати.

Тест по английскому языку: Глагол "can" — все виды предложений (для 3 класса)

1. Напиши предложение на английском с использованием глагола "can", чтобы сказать, что ты умеешь рисовать.
2. Сделай отрицательное предложение с "can", объясняющее, что ты не умеешь петь.
3. Составь вопрос с "can", чтобы спросить у друга, умеет ли он играть в футбол.
4. Напиши позитивное предложение о том, что собака умеет бегать.
5. Составь отрицательное предложение о том, что кот не умеет говорить.
6. Сделай вопрос с "can" о том, умеешь ли ты читать книги.
7. Напиши предложение, в котором ты говоришь, что твой брат умеет играть на пианино.
8. Сделай отрицательное предложение о том, что твоя сестра не умеет кататься на велосипеде.
9. Составь вопрос с "can", чтобы узнать, умеет ли твой учитель писать на доске.
10. Напиши предложение, что я умею петь песню.
11. Создай отрицательное предложение о том, что я не умею танцевать.
12. Составь вопрос с "can", чтобы спросить, умеет ли кто-то из твоих друзей плавать.
13. Напиши предложение о том, что твоя мама умеет готовить вкусную еду.
14. Сделай отрицательное предложение о том, что твой папа не умеет играть на гитаре.
15. Составь вопрос с "can" о том, умеешь ли ты собирать пазлы.
16. Напиши предложение на английском о том, что ты не умеешь танцевать.
17. Создай отрицательное предложение о том, что никто из твоих друзей не умеет летать на самолёте.
18. Составь вопрос с "can", чтобы узнать, умеет ли твой учитель говорить по-английски.
19. Напиши предложение, в котором говорится, что ты умеешь писать стихи.
20. Сделай отрицательное предложение о том, что я не умею играть в шахматы.
21. Составь вопрос с "can" о том, может ли твоя бабушка готовить торт.
22. Напиши предложение о том, что твой друг умеет летать на самолёте в игре.
23. Создай отрицательное предложение о том, что никто из семьи не умеет ловить рыбу.
24. Составь вопрос с "can", чтобы узнать, умеет ли кто-то из твоих родственников играть на скрипке.
25. Напиши предложение, что ты умеешь говорить по-английски немного.
26. Сделай отрицательное предложение о том, что ты не умеешь ездить на роликах.
27. Составь вопрос с "can" о том, умеешь ли ты готовить печенье.
28. Напиши предложение о том, что твой тётя умеет шить красивые вещи.
29. Создай отрицательное предложение о том, что никто из твоих одноклассников не умеет играть на барабанах.
30. Составь вопрос с "can", чтобы спросить, умеет ли твой учитель петь песню.

Желаю удачи!

Тест по английскому языку на тему "Семья" для 4 класса

Вопросы с множественным выбором

1. What is the English word for "мама"? a) Sister
   b) Father
   c) Mother
   d) Brother

2. Which family member is your father's son? a) Daughter
   b) Uncle
   c) Brother
   d) Aunt

3. What do you call your mother's sister? a) Cousin
   b) Aunt
   c) Grandmother
   d) Niece

4. If you have a child, what is your relationship to that child? a) Cousin
   b) Parent
   c) Grandparent
   d) Sibling

5. Which word describes the family of your spouse? a) Parents
   b) In-laws
   c) Children
   d) Siblings

6. What is the plural form of "child"? a) Childs
   b) Children
   c) Childrens
   d) Childer

7. If you have a sister, what do you call her son? a) Cousin
   b) Niece
   c) Nephew
   d) Brother

8. What is the English word for "дедушка"? a) Grandfather
   b) Father
   c) Uncle
   d) Brother

9. What is your father's brother called? a) Cousin
   b) Uncle
   c) Nephew
   d) Grandfather

10. What do you call your grandparents' child? a) Cousin
    b) Sibling
    c) Parent
    d) Aunt

11. Who is your mother's father? a) Uncle
    b) Grandfather
    c) Son
    d) Brother

12. Which word means "брат" in English? a) Uncle
    b) Brother
    c) Father
    d) Son

13. What do you call the child of your uncle? a) Sibling
    b) Cousin
    c) Nephew
    d) Grandmother

14. What is the English word for "семья"? a) Family
    b) Friends
    c) Parents
    d) Relatives

15. If you are the daughter of your parents, what are they to you? a) Cousins
    b) Siblings
    c) Parents
    d) Friends

16. What do you call your parents’ children? a) Friends
    b) Cousins
    c) Siblings
    d) Grandchildren

17. What is the English word for "сестра"? a) Mother
    b) Aunt
    c) Sister
    d) Daughter

18. Who is your parent's child? a) Aunt
    b) Cousin
    c) Sibling
    d) Child

19. What term is used for your father's daughter? a) Sister
    b) Niece
    c) Daughter
    d) Aunt

20. What do you call the parent of your cousin? a) Uncle or Aunt
    b) Grandparent
    c) Sibling
    d) Friend

21. If you are “nephew” of your uncle, what is your uncle's relationship to you? a) Brother
    b) Son
    c) Parent
    d) Father

22. What is a family member that is not related by blood? a) Cousin
    b) Step-family
    c) Sibling
    d) Grandchild

23. What do you call the son of your sister? a) Niece
    b) Cousin
    c) Grandson
    d) Nephew

24. How do you say "муж" in English? a) Father
    b) Husband
    c) Brother
    d) Son

25. What is your mother's brother called? a) Uncle
    b) Grandfather
    c) Cousin
    d) Son

26. What is the English word for “родители”? a) Siblings
    b) Grandparents
    c) Parents
    d) Children

27. How do you refer to your father’s sister? a) Aunt
    b) Niece
    c) Cousin
    d) Sister

28. What do you call the children of your grandparents? a) Grandchildren
    b) Cousins
    c) Parents
    d) Siblings

29. What do you call your brother’s child? a) Niece
    b) Nephew
    c) Cousin
    d) Daughter

30. What is the English word for "племянник"? a) Niece
    b) Cousin
    c) Nephew
    d) Brother

31. Who are your grandparents' grandchildren? a) Parents
    b) Niblings
    c) Cousins
    d) Grandchildren

32. What does "family tree" refer to? a) A tree in the garden
    b) A drawing of family relationships
    c) A type of plant
    d) A kind of furniture

33. What do you call your cousin’s parent? a) Aunt or Uncle
    b) Sibling
    c) Grandparent
    d) Friend

34. What word describes a family formed through marriage? a) Extended family
    b) Step-family
    c) Biological family
    d) Close family

35. Who is your sister to your mother and father? a) Sibling
    b) Cousin
    c) Child
    d) Niece

36. What do you call the wife of your brother? a) Sister
    b) Sister-in-law
    c) Cousin
    d) Daughter-in-law

37. What is your mother’s husband called? a) Friend
    b) Brother
    c) Father
    d) Cousin

38. How do you say "дядя" in English? a) Uncle
    b) Cousin
    c) Nephew
    d) Son

39. Who is related by blood and by marriage? a) Close family
    b) In-laws
    c) Friends
    d) Step-family

40. Which of the following describes family relationships? a) By chance
    b) By blood and marriage
    c) By friendship
    d) By choice

Конец теста

Удачи на тесте!