Подготовим к ЕГЭ за оставшееся времяна нужные баллы.
Пробный период бесплатно

осталось мест 52
Новая Школа - онлайн-школа подготовки к ЕГЭ
При поддержке
Узнать о курсах
Посмотреть все тесты нейросети

Тест на тему Логарифмическое уравнение с параметром которое решается через дискриминант

25 февраля 2025 10:39

{Другой предмет}
11 Класс

Этот тест сгенерирован искусственным интеллектом. Возможны ошибки.

Сгенерировать свой тест

Тест по алгебре на тему "Логарифмическое уравнение с параметром, которое решается через дискриминант"

Инструкции:

Отвечайте на каждый вопрос, показывая все шаги решения. Используйте необходимые формулы и обосновывайте свои ответы.

Вопрос 1:
Решите уравнение: ( \log_{2}(x^2 - 4) = 3 ). Найдите значение параметра (x).

Ответ:
( x^2 - 4 = 2^3 )
( x^2 - 4 = 8 )
( x^2 = 12 )
( x = \pm 2\sqrt{3} ).

Вопрос 2:
Решите уравнение: ( \log_{3}(x^2 + k) = 2 ), где ( k ) — параметр. Найдите выражение для значений ( k ), при которых у уравнения два различных корня.

Ответ:
( x^2 + k = 3^2 )
( x^2 + k = 9 )
( x^2 = 9 - k ).
Чтобы уравнение ( x^2 - (9 - k) = 0 ) имело два различных корня, необходимо, чтобы ( 9 - k > 0 ) (дискриминант должен быть больше нуля).
Таким образом, ( k < 9 ).

Вопрос 3:
Решите уравнение: ( \log_{5}(x^2 - 5x + k) = 1 ). Найдите условия на ( k ) для получения ровно одного корня.

Ответ:
( x^2 - 5x + k = 5 )
( x^2 - 5x + (k - 5) = 0 ).
Дискриминант: ( D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (k - 5) = 25 - 4(k - 5) ).
Для одного корня: ( D = 0 ), следовательно, ( 25 - 4(k - 5) = 0 ).
Условие: ( k = \frac{25 + 20}{4} = 11.25 ).

Вопрос 4:
Решите уравнение: ( \log_{2}(x^2 - 2x + k) = 4 ). Определите значения ( k ), при которых у уравнения два различных корня.

Ответ:
( x^2 - 2x + k = 2^4 )
( x^2 - 2x + (k - 16) = 0 ).
Дискриминант: ( D = (-2)^2 - 4(k - 16) ).
Для двух различных корней: ( D > 0 ).
Решаем: ( 4 - 4(k - 16) > 0 )
( 4 > 4k - 64 )
( 68 > 4k )
( k < 17 ).

Вопрос 5:
Решите уравнение ( \log_{7}(x^2 - kx) = 0 ). Найдите значения ( k ), при которых у этого уравнения два различных корня.

Ответ:
( x^2 - kx = 1 )
( x^2 - kx - 1 = 0 ).
Дискриминант: ( D = k^2 + 4 ).
Этот дискриминант всегда положителен, следовательно, при любом ( k ) у уравнения два корня.

Вопрос 6:
Решите уравнение ( \log_{4}(x^2 + kx) = 2 ). Найдите ( k ) для двух различных решений.

Ответ:
( x^2 + kx - 16 = 0 ).
Дискриминант: ( D = k^2 + 64 ) — всегда положителен.
Таким образом, ( k ) может быть любым.

Вопрос 7:
Решите уравнение ( \log_{10}(x^2 + k) = 1 ). Определите ( k ) для одного корня.

Ответ:
( x^2 + k = 10 )
( x^2 + (k - 10) = 0 ).
Дискриминант: ( D = 0 ). Тогда, при ( k = 10 ), у уравнения будет один корень.

Вопрос 8:
Решите уравнение: ( \log_{6}(x^2 - k) = 1 ). Укажите параметры ( k ), при которых получаем два корня.

Ответ:
( x^2 - k = 6 )
( x^2 - 6 - k = 0 ).
Дискриминант: ( D = 36 + 4k ).
Чтобы ( D > 0 ): ( k > -9 ).

Вопрос 9:
Решите уравнение ( \log_{8}(x^2 + 1 - k) = 0 ). Найдите, какие значения ( k ) ведут к одному корню.

Ответ:
( x^2 + 1 - k = 1 )
( x^2 - k = 0 ).
При ( k = 0 ) этот уравнение имеет один корень ( x = 0 ).

Вопрос 10:
Решите уравнение ( \log_{9}(x^2 - 4x + k) = 2 ). Какой диапазон ( k ) обеспечивает два решения?

Ответ:
( x^2 - 4x + k = 9 )
( x^2 - 4x + (k - 9) = 0 ).
Дискриминант: ( D = 16 - 4(k - 9) ).
Для двух решений: ( 16 - 4(k - 9) > 0 ).
Условие: ( k < 13 ).

Заключение

Поздравляем вас с завершением теста! Проследите, чтобы все шаги решения были записаны четко и понятно. Удачи на экзаменах!

Сгенерировать свой тест

Популярные тесты

{Другой предмет}
7 Класс

Тест по геометрии: кружность. Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная. Теория Класс: 7 Тип вопросов: Множественный выбор Количество вопросов: 7 Вывод теста: Без ответов

  1. У окружности радиуса 5 см центр O. Прямая L проходит на расстоянии 2 см от O. Какое взаимное расположение прямой и окружности? A) секущая B) касательная C) не пересекает D) лежит внутри

  2. У окружности радиуса 5 см центр O. Прямая L касается окружности в одной точке. Что за взаимное расположение? A) секущая B) касательная C) не пересекает D) проходит через центр

  3. У окружности радиуса 6 см расстояние от центра O до прямой L равно 6 см. Что за взаимное расположение? A) секущая B) касательная C) не пересекает D) пересекает в двух точках

  4. Что такое радиус окружности? A) прямая от одной точки окружности к другой B) от центра к точке на окружности C) от центра к любой точке внутри окружности D) от точки вне окружности к точке на окружности

  5. Что такое диаметр окружности? A) от центра к точке окружности B) от одной точки окружности к другой через центр C) от центра к любой точке окружности D) дуга окружности

  6. Прямая пересекает окружность в двух точках P и Q. Как называется отрезок PQ? A) хорда B) радиус C) диаметр D) касательная

  7. Свойство касательной: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. A) да B) нет C) только если центр совпадает с точкой касания D) зависит от радиуса

{Другой предмет}
8 Класс

Тест по алгебре для 8 класса на тему "Квадратный корень и иррациональные числа"

Вопросы:

  1. Открытый вопрос: Найдите квадратный корень числа 144 и объясните, почему вы считаете, что ваш ответ правильный.

    Ответ: Квадратный корень числа 144 равен 12, так как 12 × 12 = 144.

  2. Открытый вопрос: Упростите выражение √(50) и представьте результат в виде произведения.

    Ответ: √(50) = √(25 * 2) = √(25) * √(2) = 5√(2).

  3. Открытый вопрос: Приведите пример иррационального числа и объясните, почему оно является иррациональным.

    Ответ: Пример иррационального числа — π (пи). Оно является иррациональным, поскольку его дробное представление не может быть точно выражено в виде двух целых чисел, и его десятичное число бесконечно и не периодично.

  4. Открытый вопрос: Решите уравнение: x² = 20, и дайте ответ в виде квадратного корня.

    Ответ: x = ±√(20) = ±√(4 * 5) = ±2√(5).

  5. Открытый вопрос: Объясните, что такое рациональные и иррациональные числа, и приведите по два примера для каждого типа.

    Ответ: Рациональные числа — это числа, которые могут быть выражены в виде дроби, где числитель и знаменатель — целые числа (например, 1/2, 3). Иррациональные числа — это числа, которые не могут быть выражены в виде простых дробей, и их десятичное представление бесконечно и не периодично (например, √2, e).

{Другой предмет}
9 Класс

Тест по алгебре для 9 класса. Тема: арифметическая прогрессия

  1. Чему равен шестой член арифметической прогрессии, если первый член равен 3, а разность равна 2?

  2. Найдите сумму первых 5 членов арифметической прогрессии, если первый член равен 4, а разность равна 3.

  3. Какой член арифметической прогрессии равен 17, если первый член равен 1, а разность равна 4?

  4. Найдите разность арифметической прогрессии, если известно, что 7-й член равен 25, а 3-й член равен 13.

  5. Укажите формулу для нахождения n-го члена арифметической прогрессии.

  6. Найдите 10-й член арифметической прогрессии, если первый член равен 2, а разность равна 4.

  7. Какое будет значение суммы первых 8 членов арифметической прогрессии, если первый член равен 1, а разность равна 2?

  8. Найдите сумму первых 10 членов арифметической прогрессии, если первый член равен 3, а разность равна 5.

  9. Найдите разность арифметической прогрессии, если 5-й член равен 18, а 12-й член равен 42.

  10. Укажите условие арифметической прогрессии и обозначения используемые в нем.

Ответы:

  1. 11
  2. 20
  3. 5
  4. 4
  5. (a_n = a_1 + (n-1)d)
  6. 38
  7. 36
  8. 110
  9. 3
  10. (a_n = a_1 + (n-1)d)

Новая Школа

Тренажёр ОГЭТренажёр ЕГЭО Новой ШколеВакансииОтзывыСведения об образовательной организацииОбразовательная лицензия

Контакты

+7 964 727-31-41

Служба поддержки

Ежедневно с 10:00 до 22:00

Мобильное приложение

Саша — ассистент в телеграмме

ПО распространяется в виде интернет-сервиса, специальные действия по установке ПО на стороне пользователя не требуются

© Новая Школа 2026
Политика конфиденциальностиПользовательское соглашениеДоговор-оферта