Тест по алгебре
Тема: Векторы
Класс: 9
Тип вопросов: Открытый вопрос
Количество вопросов: 15
Вывод теста с ответами: Да
Вопрос: Даны векторы a = (3, -2) и b = (-1, 4). Найдите вектор a + b.
Ответ: a + b = (2, 2)
Вопрос: Найдите модуль вектора c = (0, 5, -3).
Ответ: |c| = sqrt(0^2 + 5^2 + (-3)^2) = sqrt(34)
Вопрос: Найдите скалярное произведение a = (2, 3) и b = (-1, 4).
Ответ: a · b = 2*(-1) + 3*4 = -2 + 12 = 10
Вопрос: Найдите угол между векторами a = (1, 0) и b = (0, 5).
Ответ: a · b = 0, |a| = 1, |b| = 5, cosθ = 0 → θ = 90°
Вопрос: Параллельны ли векторы a = (2, 4) и b = (3, 6)?
Ответ: Да. b = (3/2)·a, следовательно, векторы параллельны (одинаковое направление).
Вопрос: Являются ли векторы u = (-5, 1, 2) и v = (10, -2, -4) параллельны? Если да, найдите отношение между ними.
Ответ: Да, параллельны. v = -2·u (или u = -1/2·v)
Вопрос: Найдите проекцию вектора a = (4, -3) на вектор b = (1, 2).
Ответ: proj_b a = ((a·b)/|b|^2) b = (-2/5)·(1, 2) = (-2/5, -4/5)
Вопрос: Найдите угол между векторами a = (2, -1, 3) и b = (-4, 0, 5).
Ответ: a·b = 2*(-4) + (-1)0 + 35 = -8 + 0 + 15 = 7
|a| = sqrt(4 + 1 + 9) = sqrt(14), |b| = sqrt(16 + 0 + 25) = sqrt(41)
cosθ = 7 / (sqrt(14)·sqrt(41)) ≈ 0.2917
θ ≈ arccos(0.2917) ≈ 72.1°
Вопрос: Найдите расстояние между точками A(1, 2, 3) и B(4, -1, 7).
Ответ: AB = B - A = (3, -3, 4); |AB| = sqrt(3^2 + (-3)^2 + 4^2) = sqrt(34) ≈ 5.83
Вопрос: Найдите единичный вектор в направлении w = (-6, 8, 0).
Ответ: |w| = sqrt((-6)^2 + 8^2 + 0^2) = 10; единичный вектор u = w/|w| = (-0.6, 0.8, 0)
Вопрос: Запишите векторное уравнение прямой, проходящей через точку A(1, 2) и параллельной вектору d = (3, -1) в плоскости.
Ответ: r = (1, 2) + t(3, -1), t ∈ R
Вопрос: Найдите проекцию вектора p = (2, 2, 2) на вектор q = (1, 0, -1).
Ответ: a·b = 21 + 20 + 2*(-1) = 0 → proj_q p = (0, 0, 0) (проекция нулевая), значит p перпендикулярен q
Вопрос: Перпендикулярны ли векторы a = (5, 0) и b = (0, 7)?
Ответ: Да. a·b = 50 + 07 = 0, следовательно, угол 90°
Вопрос: Найдите уравнение плоскости векторной формы, проходящей через начало координат и перпендикулярной вектору n = (1, -2, 3).
Ответ: Нормаль к плоскости — n, поэтому плоскость задана уравнением n · r = 0, где r = (x, y, z). Итог: x - 2y + 3z = 0
Вопрос: Найдите расстояние от точки P(2, 3) до прямой L, заданной параметрически r = (1, 0) + t(4, -1).
Ответ: A = (1, 0); AP = P - A = (1, 3); d = (4, -1)
Расстояние = |det(d, AP)| / |d| = |4*3 - (-1)*1| / sqrt(4^2 + (-1)^2) = 13 / sqrt(17) ≈ 3.15
Примечание: Все ответы даны в числовом виде; если нужно, можно добавить более подробные разложения или показать шаги вычислений.
Собрать тест ЕГЭ
