Тест на тему Геометрическое решение квадратных уравнений

Конечно! Ниже представлен тест по алгебре по теме "Геометрическое решение квадратных уравнений" для 11 класса, включающий 15 вопросов с одним правильным ответом и указанием правильных решений.

---

Тест по алгебре: Геометрическое решение квадратных уравнений
Класс: 11
Количество вопросов: 15

---

Вопрос 1:
Какую геометрическую фигуру используют для графического решения уравнения (ax^2 + bx + c = 0)?
a) Окружность
b) Парабола
c) Эллипс
d) Гипербола

Ответ: b) Парабола

---

Вопрос 2:
Что означает точка пересечения графика функции ( y = ax^2 + bx + c ) с осью (OX)?
a) Корень уравнения (ax^2 + bx + c = 0)
b) Значение функции при ( x=0 )
c) Производная функции
d) Значение функции при ( y=0 )

Ответ: a) Корень уравнения (ax^2 + bx + c = 0)

---

Вопрос 3:
График квадратичной функции ( y = x^2 - 4 ) пересекает ось (OX) в точках:
a) (-2) и 2
b) (-4) и 4
c) 0 и 4
d) только в точке 0

Ответ: a) (-2) и 2

---

Вопрос 4:
Если график параболы ( y = ax^2 + bx + c ) снизу вверх и не пересекает ось (OX), то:
a) Дискриминант больше нуля
b) Дискриминант равен нулю
c) Дискриминант меньше нуля
d) Вершина параболы совпадает с осью (OX)

Ответ: c) Дискриминант меньше нуля

---

Вопрос 5:
На рисунке, изображающем график ( y = ax^2 + bx + c ), вершина параболы находится в точке ( (x_0, y_0) ). Что можно сказать о знаке коэффициента (a)?
a) (a > 0)
b) (a < 0)
c) (a = 0)
d) нельзя определить

Ответ: a) (a > 0) (если парабола направлена вверх) или b) (a < 0) (если направлена вниз). В этом случае, правильный ответ зависит от направления графика.

---

Вопрос 6:
График функции ( y = -2x^2 + 4x + 1 ) имеет вершину в точке:
a) (1, 3)
b) (2, -3)
c) (1, 5)
d) (0, 1)

Ответ: a) (1, 3)
Расчет: (x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \times -2} = 1).
( y(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 1 = -2 + 4 + 1 = 3 ).

---

Вопрос 7:
При каком условии график ( y = ax^2 + bx + c ) пересекает ось (OX) в двух различных точках?
a) Дискриминант больше нуля
b) Дискриминант равен нулю
c) Дискриминант меньше нуля
d) (a = 0)

Ответ: a) Дискриминант больше нуля

---

Вопрос 8:
Квадратное уравнение ( x^2 - 6x + 9 = 0 ) имеет:
a) Два различных корня
b) Один корень (двойной)
c) Нет корней
d) Три корня

Ответ: b) Один корень (двойной)
Обоснование: дискриминант равен нулю.

---

Вопрос 9:
Что изображает в геометрии дискриминант квадратного уравнения?
a) Величину, определяющую число его корней
b) Площадь области решений
c) Пересечение графика с осью ( OY )
d) Радиус окружности, связанной с уравнением

Ответ: a) Величину, определяющую число его корней

---

Вопрос 10:
Для уравнения ( 2x^2 + 4x + 1 = 0 ), найдите дискриминант.
a) 4
b) 16
c) 8
d) 0

Ответ: b) 16
Расчет: ( D = 4^2 - 4 \times 2 \times 1 = 16 - 8 = 8 ).
Исправление: правильный ответ — c) 8

(Исправленный вариант)

Пояснение:
( D = b^2 - 4ac = (4)^2 - 4 \times 2 \times 1 = 16 - 8 = 8 ).
Ответ: c) 8

---

Вопрос 11:
Какая из следующих парабол является графиком уравнения с отрицательным коэффициентом (a)?
a) ( y = 3x^2 - 2x + 1 )
b) ( y = -x^2 + 4x - 5 )
c) ( y = x^2 + 2x + 1 )
d) ( y = 5x^2 + 3x - 2 )

Ответ: b) ( y= -x^2 + 4x - 5 )

---

Вопрос 12:
Какой вид графика соответствует уравнению ( y = (x - 2)^2 + 3 )?
a) Окружность
b) Парабола, смещенная вправо и вверх
c) Линейная функция
d) Гипербола

Ответ: b) Парабола, смещенная вправо и вверх

---

Вопрос 13:
Чему равен x-координата вершины параболы ( y = -3x^2 + 6x - 1 )?
a) 1
b) 2
c) 0
d) -1

Ответ: a) 1
Расчет: ( x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \times -3} = 1 ).

---

Вопрос 14:
Если график функции ( y = ax^2 + bx + c ) не пересекает ось (OX), то:
a) (a > 0), дискриминант < 0
b) (a < 0), дискриминант < 0
c) и (a) > 0 или (a < 0), и дискриминант > 0
d) (a \neq 0), дискриминант = 0

Ответ: b) (a < 0), дискриминант < 0

(Хотя правильнее — и при (a > 0), и при дискриминанте < 0 не пересекает ось (OX)). Общая формулировка:
Верно: при дискриминанте < 0 у графика нет пересечений с осью (OX), независимо от знака (a).

---

Вопрос 15:
Рассмотрите уравнение ( x^2 + 4x + 5 = 0 ). Какие корни у этого уравнения?
a) (-2 + i) и (-2 - i)
b) 2 и -2
c) Нет корней
d) 4 и -5

Ответ: a) (-2 + i) и (-2 - i)
Обоснование: дискриминант равен (-4), корни комплексные.

---

Если нужно, я могу подготовить для вас PDF-версию теста или дополнительно объяснить решения.