Тест на тему Решение линейных, квадратичных, рациональных, иррациональных и логарифмических уравнений

Ниже представлен тест по алгебре для 11 класса. Тип вопросов — открытые. Всего 15 задач. В конце — ответы/пошаговые решения.

Тест

1. Реши линейное уравнение: 3x − 7 = 2x + 5
2. Реши линейное уравнение с дробями: (2/3)x + 4 = (5/6)x + 1
3. Реши линейное уравнение: 2(3x − 4) = 5x + 1
4. Реши квадратное уравнение: x^2 − 5x + 6 = 0
5. Реши квадратное уравнение: x^2 − 6x + 5 = 0
6. Реши квадратное уравнение с иррациональными корнями: x^2 − 2x − 5 = 0
7. Реши рациональное уравнение: (x + 3)/(x − 1) = 2
8. Реши рациональное уравнение: x/(x + 2) = (x − 1)/(x + 4)
9. Реши иррациональное уравнение: √(2x + 3) = x − 1
10. Реши иррациональное уравнение: ∛(3x + 6) = x + 2
11. Реши логарифмическое уравнение: log2(x − 1) = 3
12. Реши логарифмическое уравнение: log(x − 1) = log(x + 3) − 1 (основание 10)
13. Реши логарифмическое уравнение: ln(x^2 − x) = ln(3)
14. Реши уравнение с модулем: |2x − 3| = 5
15. Реши логарифмическое уравнение: log2(x) + log2(x − 1) = 3

Ответы и решения

1. 3x − 7 = 2x + 5

• Переносим: x − 7 = 5; x = 12.
• Ответ: x = 12.

2. (2/3)x + 4 = (5/6)x + 1

• Умножим всё на 6: 4x + 24 = 5x + 6
• Переносим: 24 − 6 = x → x = 18.
• Ответ: x = 18.

3. 2(3x − 4) = 5x + 1

• Раскроем скобки: 6x − 8 = 5x + 1 → x = 9.
• Ответ: x = 9.

4. x^2 − 5x + 6 = 0

• Факторизация: (x − 2)(x − 3) = 0
• Корни: x = 2, 3.
• Ответ: x = 2 или x = 3.

5. x^2 − 6x + 5 = 0

• D = 36 − 20 = 16; x = (6 ± 4)/2 → x = 1 или x = 5.
• Ответ: x = 1 или x = 5.

6. x^2 − 2x − 5 = 0

• D = 4 + 20 = 24; x = (2 ± √24)/2 = 1 ± √6.
• Корни: x = 1 + √6, x = 1 − √6.
• Ответ: x = 1 + √6 или x = 1 − √6.

7. (x + 3)/(x − 1) = 2

• x + 3 = 2(x − 1) → x + 3 = 2x − 2 → x = 5.
• Ограничение: x ≠ 1. Применимо.
• Ответ: x = 5.

8. x/(x + 2) = (x − 1)/(x + 4)

• Перемножаем крестообразно: x(x + 4) = (x − 1)(x + 2)
• Раскрываем: x^2 + 4x = x^2 + x − 2 → 3x = −2 → x = −2/3.
• Ограничения: x ≠ −2, x ≠ −4. Решение допустимо.
• Ответ: x = −2/3.

9. √(2x + 3) = x − 1

• Требование: x ≥ 1. Возводим в квадрат: 2x + 3 = (x − 1)^2 = x^2 − 2x + 1
• Получаем: x^2 − 4x − 2 = 0 → x = (4 ± √(16 + 8))/2 = 2 ± √6
• Только x = 2 + √6 удовлетворяет x ≥ 1.
• Ответ: x = 2 + √6.

10. ∛(3x + 6) = x + 2

• Возведём куб: 3x + 6 = (x + 2)^3
• Раскрываем: x^3 + 6x^2 + 9x + 2 = 0
• Делением на (x + 2) получаем: (x + 2)(x^2 + 4x + 1) = 0
• Корни: x = −2, x = −2 ± √3
• Все корни допустимы (кубическое коренное уравнение не требует дополнительных условий).
• Ответ: x = −2, x = −2 + √3, x = −2 − √3.

11. log2(x − 1) = 3

• x − 1 = 2^3 = 8 → x = 9
• Ограничение: x > 1. Исполнимо.
• Ответ: x = 9.

12. log(x − 1) = log(x + 3) − 1

• Правило: log a − 1 = log(a/10)
• Получаем: log(x − 1) = log((x + 3)/10) → x − 1 = (x + 3)/10
• 10x − 10 = x + 3 → 9x = 13 → x = 13/9
• Ограничения: x > 1 и x + 3 > 0. Выполнимо.
• Ответ: x = 13/9.

13. ln(x^2 − x) = ln(3)

• Поскольку ln равны, их аргументы равны: x^2 − x = 3
• x^2 − x − 3 = 0 → x = [1 ± √(1 + 12)]/2 = (1 ± √13)/2
• Оценка аргумента: для обеих корней x^2 − x > 0, следовательно оба допустимы.
• Ответ: x = (1 + √13)/2 или x = (1 − √13)/2.

14. |2x − 3| = 5

• 2x − 3 = 5 → x = 4
• 2x − 3 = −5 → x = −1
• Ответ: x = 4 или x = −1.

15. log2(x) + log2(x − 1) = 3

• Объединяем: log2(x(x − 1)) = 3 → x(x − 1) = 2^3 = 8
• x^2 − x − 8 = 0 → x = [1 ± √(1 + 32)]/2 = (1 ± √33)/2
• Требование: домен x > 1 (логарифмы обеих аргументов должны быть положны). Из двух корней только x = (1 + √33)/2 удовлетворяет этому.
• Ответ: x = (1 + √33)/2.