Тест на тему Системы уравнений

Тест по алгебре — Тема: Системы уравнений Класс: 7 Тип вопросов: Открытые Количество вопросов: 7 Вывод теста с ответами: Да

Инструкция для учащихся:

• Все вопросы открытого типа. Запишите решение по шагам.
• В ответах допускаются дроби и десятичные дроби.

Вопросы

1. Решите систему: x + y = 7 x − y = 3

2. Решите систему: 2x + 3y = 13 x − y = 1

3. Решите систему: 2x + y = 4 −x + 3y = 5

4. word-проблема: В магазине продаются карандаши двух видов: обычные по цене 2 рубля за штуку и цветные по цене 3 рубля за штуку. За день продано 20 карандашей на общую сумму 46 рублей. Найдите количество каждого вида карандашей.

5. Найдите точку пересечения графиков: y = 2x + 1 y = −x + 7

6. Найдите решение или отсутствие решения для системы: 2x + y = 4 2x + y = 6

7. Открытый вопрос: графический метод Опишите пошагово графический метод решения системы линейных уравнений. Затем для системы: y = 3x − 2 y = −x + 6 укажите точку пересечения (координаты) и кратко поясните, как вы её нашли.

Ответы

1. x + y = 7 и x − y = 3

• Сложим уравнения: (x + y) + (x − y) = 7 + 3 → 2x = 10 → x = 5
• Найдём y: x + y = 7 → 5 + y = 7 → y = 2
• Ответ: x = 5, y = 2

2. 2x + 3y = 13 и x − y = 1

• Выразим x через y: x = y + 1
• Подставим в 2x + 3y = 13: 2(y + 1) + 3y = 13 → 2y + 2 + 3y = 13 → 5y = 11 → y = 11/5
• Найдём x: x = y + 1 = 11/5 + 1 = 16/5
• Ответ: x = 16/5, y = 11/5

3. 2x + y = 4 и −x + 3y = 5

• Выразим y из первого: y = 4 − 2x
• Подставим во второе: −x + 3(4 − 2x) = 5 → −x + 12 − 6x = 5 → −7x = −7 → x = 1
• Найдём y: y = 4 − 2x = 4 − 2 = 2
• Ответ: x = 1, y = 2

4. Система из задачи про карандаши: x + y = 20 (общее количество карандашей) 2x + 3y = 46 (общая стоимость)

• Выразим x: x = 20 − y
• Подставим: 2(20 − y) + 3y = 46 → 40 − 2y + 3y = 46 → y = 6
• Найдём x: x = 20 − 6 = 14
• Ответ: обычных карандашей = 14; цветных карандашей = 6

5. y = 2x + 1 и y = −x + 7

• Приравняем правые части: 2x + 1 = −x + 7 → 3x = 6 → x = 2
• Найдём y: y = 2x + 1 = 5
• Ответ: точка пересечения (2, 5)

6. 2x + y = 4 и 2x + y = 6

• Вычитанием второе уравнение из первого получаем 0 = −2 (или 0 = 2 при другой подстановке) — противоречие
• Значит система несовместима; решений нет
• Ответ: система несовместна (нет решений)

7. Графический метод и система y = 3x − 2, y = −x + 6

• По графику оба уравнения задают прямые. Точка пересечения — это решение системы.
• Найдём пересечение алгебраически: 3x − 2 = −x + 6 → 4x = 8 → x = 2; y = 3(2) − 2 = 4
• Ответ: пересечение в точке (2, 4); графически это место, где оба прямые имеют одинаковые координаты. Описанный графический метод: нарисовать две прямые на координатной плоскости, найти их точку пересечения, которая и есть решение системы; можно проверить подстановкой в каждое уравнение.