Новая школа

Ниже представлен тест по Алгебре для 9 класса (итоговый), Open-ended вопросы. Всего 15 заданий. После каждого задания приводится ответ с кратким решением.

Решите уравнение 3x − 7 = 5x + 6. Найдите x.

Ответ: x = −13/2. Решение: 3x − 7 = 5x + 6 → −7 − 6 = 5x − 3x → −13 = 2x → x = −13/2.

Найдите решение системы уравнений: 2x + 3y = 12 x − y = 1

Ответ: x = 3, y = 2. Решение: из второго уравнения x = y + 1; подставим в первое: 2(y+1) + 3y = 12 → 5y = 10 → y = 2; x = 3.

Найдите корни квадратного уравнения x^2 − 5x + 6 = 0.

Ответ: x = 2 и x = 3. Решение: (x − 2)(x − 3) = 0.

Решите квадратное уравнение методом «додавания квадрата»: x^2 + 4x − 5 = 0.

Ответ: x = 1 или x = −5. Решение: дискриминант D = 4^2 − 4·1·(−5) = 36; x = [−4 ± 6]/2 → x = 1 или x = −5.

Решите уравнение 2x^2 + 3x − 2 = 0.

Ответ: x = 1/2 или x = −2. Решение: дискриминант D = 3^2 − 4·2·(−2) = 9 + 16 = 25; x = [−3 ± 5]/(2·2) → x = 1/2 или x = −2.

Найдите уравнение прямой, проходящей через две точки (2, −1) и (5, 7).

Ответ: y = (8/3)x − 19/3. Решение: наклон m = (7 − (−1)) / (5 − 2) = 8/3; через точку (2, −1): y + 1 = (8/3)(x − 2) → y = (8/3)x − 19/3.

Найдите уравнение прямой, параллельной линии y = −2x + 4, проходящей через точку (1, −3).

Ответ: y = −2x − 1. Решение: параллельная имеет тот же наклон, через (1, −3): y + 3 = −2(x − 1) → y = −2x − 1.

Решите неравенство: |2x − 5| ≤ 3.

Ответ: x ∈ [1, 4]. Решение: −3 ≤ 2x − 5 ≤ 3 → 2 ≤ 2x ≤ 8 → 1 ≤ x ≤ 4.

Решите неравенство: |x + 4| > 7.

Ответ: x ∈ (−∞, −11) ∪ (3, ∞). Решение: x + 4 > 7 или x + 4 < −7 → x > 3 или x < −11.

Решите уравнение с модулем: |3x − 4| = 7.

Ответ: x = 11/3 или x = −1. Решение: 3x − 4 = 7 или 3x − 4 = −7.

Арифметическая последовательность: a1 = 5, знаменатель d = 4. Найдите 10-й член и сумму первых 10 членов.

Ответ: a10 = 41; S10 = 230. Решение: a10 = a1 + 9d = 5 + 9·4 = 41; S10 = (10/2)(a1 + a10) = 5 · 46 = 230.

Постройте характеристики квадратичной функции y = x^2 − 4x + 3: найдите нули, вершину и ось симметрии.

Ответ: нули x = 1 и x = 3; вершина (2, −1); ось симметрии x = 2. Решение: дискриминант D = (−4)^2 − 4·1·3 = 16 − 12 = 4; корни x = [4 ± 2]/2 → x = 1, 3; вершина x = −b/(2a) = 4/2 = 2; y при x=2: 4 − 8 + 3 = −1.

Решение системы: 2x + y = 8 x − y = 2

Ответ: x = 10/3, y = 4/3. Решение: сложим уравнения: 3x = 10 → x = 10/3; подставим в второе: 10/3 − y = 2 → y = 10/3 − 2 = 4/3.

Разложите на множители и найдите корни квадратного уравнения x^2 − 7x + 12 = 0.

Ответ: (x − 3)(x − 4) = 0 → x = 3 или x = 4.

Обобщение по квадратичным уравнениям: какое условие на дискриминант D = b^2 − 4ac обеспечивает наличие двух действительных корней уравнения ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)? Каковы случаи для одного или отсутствия реальных корней?

Ответ: двух действительных корней — D > 0; один корень (двойной) — D = 0; отсутствуют действительные корни — D < 0. Это следует из свойств решения квадратного уравнения.

Если нужно, могу адаптировать сложность заданий под конкретный школьный учебник или школьный формат (например, добавить черновик решения или убрать промежуточные шаги).

Бесплатный сервис «Учительская»

Тест на тему Итоговый тест за 9 класс

Популярные тесты