Новая Школа - онлайн-школа подготовки к ЕГЭ
При поддержке
Узнать о курсах
Посмотреть все тесты нейросети

Тест на тему Векторы

05 сентября 2025 15:46

{Другой предмет}
9 Класс

Этот тест сгенерирован искусственным интеллектом. Возможны ошибки.

Сгенерировать свой тест

Ниже представлен тест по геометрии на тему «Векторы» для 9 класса. Все вопросы открытого типа. После каждого вопроса дан ответ и краткое решение.

  1. Вопрос: Дайте точное определение вектора в двумерном пространстве. Ответ: Вектор в двумерном пространстве — это направленная величина, задаваемая парой координат a = (x, y). Модуль вектора составляет |a| = sqrt(x^2 + y^2). Направление задаётся одним направлением в плоскости.

  2. Вопрос: Пусть a = (3, -1) и b = (-2, 4). Найдите a + b, a − b и 2a. Ответ: a + b = (1, 3); a − b = (5, -5); 2a = (6, -2).

  3. Вопрос: Найдите модуль вектора a = (5, 12). Ответ: |a| = sqrt(5^2 + 12^2) = sqrt(25 + 144) = sqrt(169) = 13.

  4. Вопрос: Найдите единичный вектор по направлению a = (7, -24). Ответ: |a| = sqrt(7^2 + (-24)^2) = sqrt(49 + 576) = sqrt(625) = 25. Единичный вектор u = a/|a| = (7/25, -24/25).

  5. Вопрос: Найдите произведение вектора a = (2, -3) на скаляр k = -3. Ответ: k a = (-6, 9).

  6. Вопрос: Найдите скалярное произведение a · b для a = (3, 4) и b = (-2, 5). Что означает знак результата? Ответ: a · b = 3·(-2) + 4·5 = -6 + 20 = 14. Положительный знак означает, что угол между векторами острый (< 90°).

  7. Вопрос: Найдите угол θ между векторами a = (1, 2) и b = (2, -1). Ответ в градусах. Ответ: a · b = 1·2 + 2·(-1) = 0, значит θ = 90°.

  8. Вопрос: Найдите проекцию вектора a на b: a = (3, 4), b = (1, 0). Ответ: a · b = 3, b · b = 1, проекция вектора на b: proj_b a = (a · b)/(b · b) · b = 3 · (1, 0) = (3, 0).

  9. Вопрос: Определите, перпендикулярны ли векторы a = (1, 2) и b = (-2, 1). Ответ: a · b = 1·(-2) + 2·1 = -2 + 2 = 0, значит векторы перпендикулярны (ортогональны).

  10. Вопрос: Векторы a = (6, -4) и b = (3, -2) коллинеарны ли? Ответ: Да, b = (1/2) a, следовательно они коллинеарны.

  11. Вопрос: Запишите векторное уравнение прямой, проходящей через точку A(1, 2) и заданной направляющим вектором d = (4, -1). Ответ: r = (1, 2) + t(4, -1), t ∈ ℝ. (Эквивалентно: x = 1 + 4t, y = 2 − t.)

  12. Вопрос: Найдите расстояние между точками A(1, 2) и B(7, -2). Ответ: AB = B − A = (6, -4); |AB| = sqrt(6^2 + (-4)^2) = sqrt(36 + 16) = sqrt(52) = 2√13 ≈ 7.21.

  13. Вопрос: Найдите вектор AB и его длину для точек A(2, 3) и B(-1, 7). Ответ: AB = B − A = (-3, 4); |AB| = sqrt((-3)^2 + 4^2) = sqrt(9 + 16) = 5.

  14. Вопрос: Найдите длину вектора a = (9, 12). Ответ: |a| = sqrt(9^2 + 12^2) = sqrt(81 + 144) = sqrt(225) = 15.

  15. Вопрос: Найдите сумму и разность векторов a = (1, 2) и b = (3, -5). Ответ: a + b = (4, -3); a − b = (-2, 7).

  16. Вопрос: Найдите вращение вектора a = (3, 4) на 90 градусов против часовой стрелки (CCW). Ответ: После CCW на 90° вектор стал бы (-4, 3).

  17. Вопрос: Найдите компоненту и проекцию вектора a onto b: a = (3, 4), b = (2, 0). Ответ: a · b = 3·2 + 4·0 = 6; |b| = sqrt(2^2 + 0^2) = 2. Компонента: comp_b a = (a · b)/|b| = 6/2 = 3. Проекция: proj_b a = (a · b)/(b · b) · b = 6/4 · (2, 0) = (3, 0).

  18. Вопрос: Пусть F1 = (3, 4) Н и F2 = (-1, 2) Н. Найдите результирующий вектор R = F1 + F2 и его модуль |R|. Ответ: R = (2, 6); |R| = sqrt(2^2 + 6^2) = sqrt(4 + 36) = sqrt(40) = 2√10 ≈ 6.32.

  19. Вопрос: Пусть векторы a и b ортогональны. Докажите формулой и посчитайте на примере: a = (2, 0), b = (0, 5). Найдите |a + b|^2 и сравните с |a|^2 + |b|^2. Ответ: Так как a ⟂ b, то |a + b|^2 = |a|^2 + |b|^2. Здесь |a + b|^2 = |(2, 5)|^2 = 2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29; |a|^2 + |b|^2 = 2^2 + 0^2 + 0^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29. Сверка прошла.

  20. Вопрос: Найдите расстояние между A(-1, 4) и B(5, -2). Ответ: AB = B − A = (6, -6); |AB| = sqrt(6^2 + (-6)^2) = sqrt(36 + 36) = sqrt(72) = 6√2 ≈ 8.49.

Примечание для учителя:

  • Все вопросы ориентированы на базовые операции с векторами в двумерном пространстве: сложение, вычитание, умножение на скаляр, модуль, скалярное произведение, угол между векторами, проекция и длина вектора, а также геометрические интерпретации (сравнение длин, линейные зависимости и т. д.).
  • Можно дополнительно попросить учащихся привести геометрическое объяснение полученных результатов (например, почему a · b = 0 означает перпендикулярность).
Сгенерировать свой тест

Популярные тесты

{Другой предмет}
11 Класс

  1. Выберите все правильные варианты. Какие из перечисленных государств после Второй мировой войны вошли в советскую сферу влияния и установили социалистические режимы?
    A) Польша
    B) Италия
    C) Венгрия
    D) Болгария

  2. Выберите все правильные варианты. Какие изменения относились к послевоенному устройству Центральной и Восточной Европы?
    A) Западная граница Польши была проведена по рекам Одер и Нейсе.
    B) Северная часть Восточной Пруссии с Кёнигсбергом была передана СССР.
    C) Восточная граница Германии с Польшей сохранилась по довоенной линии.
    D) Потсдамская конференция согласовала перемещение немецкого населения из Польши, Чехословакии и Венгрии.

  3. Выберите все правильные варианты. Какие процессы были характерны для утверждения социалистических режимов в большинстве стран региона в конце 1940-х — начале 1950-х годов?
    A) Национализация крупных предприятий и банков.
    B) Проведение аграрных реформ и в ряде стран коллективизация сельского хозяйства.
    C) Ограничение политической оппозиции и усиление однопартийного руководства.
    D) Восстановление наследственных монархий.

  4. Выберите все правильные варианты. Что характеризовало февральский переворот 1948 года в Чехословакии?
    A) Коммунисты установили полный политический контроль в стране.
    B) Отставка министров некоммунистических партий привела к правительственному кризису, использованному коммунистами.
    C) В стране была восстановлена монархия.
    D) Чехословакия сразу вступила в НАТО.

  5. Выберите все правильные варианты. Какие утверждения о плане Маршалла и странах Восточной Европы верны?
    A) План экономической помощи был предложен США в 1947 году.
    B) СССР оказал давление на правительства стран своей сферы влияния, чтобы они отказались от участия в плане.
    C) План Маршалла стал программой создания СЭВ.
    D) План Маршалла предусматривал исключительно военную помощь.

  6. Выберите все правильные варианты. Какие утверждения о Совете экономической взаимопомощи верны?
    A) СЭВ был создан в 1949 году.
    B) Организация координировала экономическое сотрудничество социалистических стран.
    C) СЭВ являлся военным союзом, аналогичным НАТО.
    D) СЭВ был создан как программа экономической помощи США.

  7. Выберите все правильные варианты. Какие утверждения об Организации Варшавского договора верны?
    A) Договор был подписан в 1955 году.
    B) Организация объединяла СССР и ряд социалистических государств Восточной Европы.
    C) Её создание было связано с вступлением ФРГ в НАТО.
    D) Основной задачей организации было экономическое планирование.

  8. Выберите все правильные варианты. Какие события и требования связаны с Венгерским восстанием 1956 года?
    A) Требования большей самостоятельности Венгрии и вывода советских войск.
    B) Объявление Имре Надем нейтралитета Венгрии и выхода из Варшавского договора.
    C) Подавление восстания советским военным вмешательством.
    D) Вступление Венгрии в НАТО в 1956 году.

  9. Выберите все правильные варианты. Что верно о движении «Солидарность» в Польше?
    A) Оно возникло как независимый профсоюз в Гданьске в 1980 году.
    B) Одним из его руководителей был Лех Валенса.
    C) Движение сыграло значительную роль в мирном демонтаже коммунистического режима в Польше.
    D) Оно являлось военным союзом социалистических государств.

  10. Выберите все правильные варианты. Какие утверждения о Пражской весне 1968 года верны?
    A) Проведение реформ было связано с деятельностью Александра Дубчека.
    B) Одной из идей реформ было построение «социализма с человеческим лицом».
    C) Войска стран Варшавского договора вошли в Чехословакию для подавления реформ.
    D) Пражская весна завершилась немедленным восстановлением многопартийной демократии.

  11. Выберите все правильные варианты. Какие особенности характеризовали развитие социалистической Югославии после конфликта с СССР?
    A) Разрыв отношений с руководством СССР произошёл в 1948 году.
    B) В стране развивалась система рабочего самоуправления и относительной децентрализации.
    C) Югославия активно участвовала в Движении неприсоединения.
    D) Югославия вступила в Варшавский договор после его создания.

  12. Выберите все правильные варианты. Какие черты были характерны для Румынии при Николае Чаушеску?
    A) Авторитарное однопартийное правление и культ личности руководителя.
    B) Относительная внешнеполитическая самостоятельность по отношению к Москве, включая осуждение ввода войск в Чехословакию в 1968 году.
    C) Свержение режима в ходе революционных событий 1989 года.
    D) Установление свободной конкурентной парламентской демократии в 1965 году.

  13. Выберите все правильные варианты. Какие события относятся к революционным изменениям 1989 года в странах Восточной Европы?
    A) Проведение «круглого стола» в Польше и частично свободных выборов.
    B) Падение Берлинской стены в ноябре 1989 года.
    C) «Бархатная революция» в Чехословакии.
    D) Ввод советских войск во все страны региона для сохранения коммунистических режимов.

  14. Выберите все правильные варианты. Какие последствия были характерны для большинства стран региона после падения социалистических режимов?
    A) Переход к рыночной экономике.
    B) Развитие политического плюрализма и многопартийных выборов.
    C) Роспуск Организации Варшавского договора в 1991 году.
    D) Укрепление и расширение СЭВ в 1990-е годы.

  15. Выберите все правильные варианты. Какие утверждения об евроатлантической интеграции стран Центральной Европы верны?
    A) Польша, Чехия и Венгрия вступили в НАТО в 1999 году.
    B) Польша, Чехия и Венгрия вступили в Европейский союз в 2004 году.
    C) Все государства Центральной и Восточной Европы вступили в НАТО и Европейский союз в один и тот же год.
    D) Югославия вступила в НАТО в 1999 году.

{Другой предмет}
2 Класс

Тест по предмету "Окружающий мир" для учащихся 2 класса

Тема: Формы земной поверхности

Тип вопросов: Соотнесение

  1. Соедините правильные пары:

    • Гора - Возвышенность
    • Равнина - Плоская местность
    • Озеро - Водоем без открытого океана
    • Река - Место, где протекает вода

  2. Соотнесите формы земной поверхности с их описанием:

    • Гора - Высокая, обычно снежная вершина
    • Поле - Место, где выращивают сельскохозяйственные культуры
    • Озеро - Водоем, окруженный сушей
    • Лес - Место, покрытое деревьями

  3. Подберите соответствующую пару:

    • Долина - Пониженность между горами
    • Пустыня - Местность с минимумом растительности
    • Холм - Небольшая возвышенность на равнине
    • Болото - Влажная местность с густой растительностью

  4. Соедините формы земной поверхности с их характеристиками:

    • Пещера - Натуральная полость под землей
    • Каньон - Глубокое ущелье с отвесными стенами
    • Луг - Участок земли с травой, но без деревьев
    • Бухта - Небольшая вогнутая бухта океана или моря

  5. Соотнесите формы земной поверхности с ихображениями:

    • Грот - [изображение]
    • Кротовина - [изображение]
    • Лощина - [изображение]
    • Мыс - [изображение]

  6. Подберите верные пары:

    • Архипелаг - Группа островов в океане
    • Полуостров - Массивная часть суши, окруженная водой
    • Скала - Крупный естественный образец породы
    • Эрозия - Износ земной поверхности в результате воздействия природных факторов

Ответы:

  1. Гора - Возвышенность Равнина - Плоская местность Озеро - Водоем без открытого океана Река - Место, где протекает вода

  2. Гора - Высокая, обычно снежная вершина Поле - Место, где выращивают сельскохозяйственные культуры Озеро - Водоем, окруженный сушей Лес - Место, покрытое деревьями

  3. Долина - Пониженность между горами Пустыня - Местность с минимумом растительности Холм - Небольшая возвышенность на равнине Болото - Влажная местность с густой растительностью

  4. Пещера - Натуральная полость под землей Каньон - Глубокое ущелье с отвесными стенами Луг - Участок земли с травой, но без деревьев Бухта - Небольшая вогнутая бухта океана или моря

  5. Ответы не подразумеваются в тексте теста.

  6. Архипелаг - Группа островов в океане Полуостров - Массивная часть суши, окруженная водой Скала - Крупный естественный образец породы Эрозия - Износ земной поверхности в результате воздействия природных факторов

Успешной подготовки к тестированию!

{Другой предмет}
5 Класс

Тест по Технологии для учеников 5 класса

Тема: Робототехника, сферы применения

  1. Что такое робототехника? A) Наука о создании и использовании роботов B) Изучение роботов в кинофильмах C) Математика для роботов

  2. В каких областях применяются роботы? A) Только в космосе B) В медицине, производстве, обороне и других сферах C) Только на кухне

  3. Какие задачи могут решать роботы в медицине? A) Отправлять пациентов на луну B) Проводить операции, доставлять лекарства C) Учить врачей новым приемам

  4. Какая область использования робототехники занимается созданием роботов-пылесосов? A) Производство B) Бытовая техника C) Медицина

  5. В чем преимущество использования роботов в производстве? A) Роботы никогда не сломаются B) Роботы повышают производительность, снижают риски для рабочих C) Роботы могут заменить всех сотрудников

  6. Какие функции могут выполнять роботы в оборонной сфере? A) Организовывать пикники B) Разминировать территорию, осуществлять слежение C) Покупать боеприпасы

  7. Какие навыки полезны для работы с робототехникой? A) Пение и танцы B) Математика, программирование, электроника C) Готовка и фотография

  8. Что такое программирование роботов? A) Рассказ о жизни роботов B) Создание заказов для роботов C) Написание инструкций для робота

  9. Какие виды роботов используются в космосе? A) Роботы-пылесосы B) Роботы-марсоходы, роботы-сварщики C) Роботы-повара

  10. Зачем нужен робот-дайвер? A) Для вязания узлов на морском дне B) Для исследования морских глубин, обслуживания подводных объектов C) Для написания стихов

Тест окончен.

Ответы:

  1. A) Наука о создании и использовании роботов
  2. B) В медицине, производстве, обороне и других сферах
  3. B) Проводить операции, доставлять лекарства
  4. B) Бытовая техника
  5. B) Роботы повышают производительность, снижают риски для рабочих
  6. B) Разминировать территорию, осуществлять слежение
  7. B) Математика, программирование, электроника
  8. C) Написание инструкций для робота
  9. B) Роботы-марсоходы, роботы-сварщики
  10. B) Для исследования морских глубин, обслуживания подводных объектов
{Другой предмет}
7 Класс

Вот тест по географии для 7 класса. Тип заданий: Соотнесение. Всего 5 вопросов. В конце — ключ ответов.

Инструкция: Соотнеси номера слева с буквами справа.

Левые (термины):

  1. Литосфера
  2. Континентальная кора
  3. Океаническая кора
  4. Рельеф Земли
  5. Движение литосферных плит (границы плит)

Правые (описания): A) Жесткая оболочка Земли, включающая кору и верхнюю часть мантии B) Более толстая кора под материками, в основном гранитная C) Тонкая кора под океанами, в основном базальтовая D) Совокупность гор, равнин, плоскогорий и долин — формы поверхности Земли E) Движение плит и их границы; приводит к образованию рельефа и землетрясениям

Ответы: 1 - A 2 - B 3 - C 4 - D 5 - E

Новая Школа

Тренажёр ОГЭТренажёр ЕГЭО Новой ШколеВакансииОтзывыСведения об образовательной организацииОбразовательная лицензия

Контакты

+7 964 727-31-41

Служба поддержки

Ежедневно с 10:00 до 22:00

Мобильное приложение

Саша — ассистент в телеграмме

ПО распространяется в виде интернет-сервиса, специальные действия по установке ПО на стороне пользователя не требуются

© Новая Школа 2026
Политика конфиденциальностиПользовательское соглашениеДоговор-оферта