Тест на тему корень н степени

Ниже тест по теме «Корень n-й степени» для 9 класса. Все вопросы открытые. 20 вопросов. В конце — ответы.

1. Определение. Что такое корень степени n (n-й корень) числа a? Какие существуют ограничения для корня n-й степени в действительном числе (особенно для чётного n)?
   Ответ: b — это n-й корень числа a, если b^n = a. Для чётного n радиканд должен быть неотрицательным (a ≥ 0) в действительных числах; для нечётного n ограничений по знаку нет.

2. Вычислите: ∛(-8).
   Ответ: -2.

3. Вычислите: √[5]{32}.
   Ответ: 2, так как 2^5 = 32.

4. Упростите: √[4]{16}.
   Ответ: 2, так как 2^4 = 16.

5. Упростите: √[6]{x^9}. Укажите условие на x.
   Ответ: x^(9/6) = x^(3/2) = √(x^3) = x√x, при x ≥ 0 (для действительных результатов).

6. Упростите: √[3]{a^6}.
   Ответ: a^2 (для любого a; (a^6)^(1/3) = a^2).

7. Решите уравнение: √[4]{x+3} = 5.
   Ответ: x+3 = 5^4 = 625 → x = 622.

8. Решите уравнение: √[3]{2x+3} = -4.
   Ответ: 2x+3 = (-4)^3 = -64 → 2x = -67 → x = -33.5.

9. Демонстрация свойства. Докажите на примере, что (√[3]{8})^4 = 16.
   Ответ: √[3]{8} = 2; (2)^4 = 16; или с экспонентами: (8)^(1/3) ^4 = 8^(4/3) = (2^3)^(4/3) = 2^4 = 16.

10. Укажите случаи, когда √[n]{a^n} может равняться a, и приведите примеры для n=3 и n=4.
    Ответ: Для n=3 (нечётное) √[3]{a^3} = a, например a = -2: ∛((-2)^3) = -2. Для n=4 (чётное) √[4]{a^4} = |a|, например a = -2: √[4]{(-2)^4} = √[4]{16} = 2 ≠ -2.

11. Рационализация знаменателя. Рационализируйте выражение: 1/√[3]{2}.
    Ответ: √[3]{4} / 2 (или эквивалентно 2^{-1/3} = √[3]{4}/2).

12. Вычислите: (√[3]{2})^6.
    Ответ: 4, потому что (2^(1/3))^6 = 2^(6/3) = 2^2 = 4.

13. Вычислите: √[2]{9} + √[4]{81}.
    Ответ: 3 + 3 = 6 (потому что √9 = 3, √[4]{81} = 3).

14. Решите простое уравнение: √x = 7.
    Ответ: x = 49.

15. Объясните домен: Для какого x определён корень √[4]{x} в действительных числах?
    Ответ: x ≥ 0.

16. Преобразование: √[7]{x^14} = ?
    Ответ: x^2 (для любого x; (x^14)^(1/7) = x^(14/7) = x^2).

17. Пример:√[3]{27x^3} = ?
    Ответ: 3x (поскольку ∛(27) = 3 и ∛(x^3) = x).

18. Что равно ∛0?
    Ответ: 0.

19. Вычислите: √[6]{64}.
    Ответ: 2, так как 64 = 2^6 и (2^6)^(1/6) = 2.

20. Решите уравнение: ∛x = x.
    Ответ: x ∈ {-1, 0, 1} (проверка: ∛(-1) = -1, ∛0 = 0, ∛1 = 1).

Если нужно, могу адаптировать уровень сложности, добавить подсказки для проверки решений или оформить тест в виде задания на листе с полями для ответов.