Новая школа

Тест по геометрии: Тема — Векторы Класс: 9 Тип вопросов: Открытые Количество вопросов: 5 Ответы представлены после вопросов

Векторы в декартовой системе: a = (3, -2), b = (-1, 4). Задача: найдите a + b, a - b, модуль каждого вектора |a| и |b|, а также угол θ между векторами a и b (укажите шаги и итоговое значение).
Проекция вектора на другой вектор: a = (3, -4), b = (2, 1). Задача: найдите проекцию вектора a на вектор b как векторную проекцию proj_b(a) и её длину (модуль). Покажите вычисления.
Площадь параллелограмма: a = (3, 1), b = (1, 4). Задача: найдите площадь параллелограмма, образованного векторами a и b. (Используйте формулу площади через детерминант: S = |a1b2 - a2b1|.)
Равенства прямой в параметрической и симметрической форме: прямая проходит через точку P0 = (-2, 3) и имеет направляющий вектор v = (4, -5). Задача: запишите параметрическое уравнение прямой и симметрическое уравнение этой прямой.
Разложение вектора по базису: пусть u = (2, 1), v = (1, 3) образуют базис двумерного пространства. Найдите скаляры α и β такие, что a = αu + βv для a = (5, 2). Приведите решение и запишите полученное разложение.

Ответы

a + b = (3 + (-1), -2 + 4) = (2, 2) a - b = (3 - (-1), -2 - 4) = (4, -6) |a| = √(3^2 + (-2)^2) = √13 |b| = √((-1)^2 + 4^2) = √17 a · b = 3*(-1) + (-2)*4 = -11 cos θ = (a · b) / (|a||b|) = -11 / √221 θ ≈ arccos(-11/√221) ≈ 137.7°
a · b = 3*2 + (-4)*1 = 2 |b|^2 = 2^2 + 1^2 = 5 proj_b(a) = [(a·b)/|b|^2] b = (2/5) (2, 1) = (4/5, 2/5) Длина проекции = |a·b| / |b| = 2 / √5 ≈ 0.894
Стороны образуют параллелограмм, поэтому площадь: S = |a1b2 - a2b1| = |34 - 11| = |12 - 1| = 11
Параметрическое уравнение прямой через P0(-2, 3) с направляющим вектором v = (4, -5): x = -2 + 4t, y = 3 - 5t, t ∈ ℝ Симметрическое уравнение: (x + 2)/4 = (y - 3)/(-5)
Система уравнений для α и β: 2α + β = 5 α + 3β = 2 Решение: α = 13/5, β = -1/5 Значит, a = (13/5)u - (1/5)v, то есть (5, 2) = (13/5)(2, 1) - (1/5)(1, 3)

Если нужно, могу адаптировать уровень сложности или подготовить варианты для проверки знаний с ключами и критериями оценивания.

Бесплатный сервис «Учительская»

Тест на тему Векторы

Популярные тесты