Новая школа

Ниже представлен тест по алгебре на тему «Функции» для 9 класса. Тип вопросов — открытые вопросы. Всего 20 заданий. В конце — ответы.

Тест

Найдите f(5) и f(-2) для функции f(x) = 3x - 4.
Определите домен и множество значений функции g(x) = x^2 - 6x + 5.
Для функции h(x) = |x - 4|:
- укажите домен и диапазон;
- найдите координаты точки пересечения графика с осью Ox и с осью Oy.
Укажите интервалы возрастания и убывания функции f(x) = x^3 - 3x на всей числовой оси.
Определите домен и диапазон функции f(x) = sqrt(x + 2).
Найдите все действительные x, удовлетворяющие уравнению x^2 - 1 = 3.
Найдите обратную функцию для f(x) = 2x + 3 и запишите формулу f^{-1}(x).
Пусть f(x) = 2x + 1 и g(x) = x^2. Найдите значения (f ∘ g)(2) и (g ∘ f)(2).
Опишите графическое преобразование параболы при переходе от y = f(x) к y = f(x - 3) + 1, если f(x) = x^2. Запишите новую формулу.
Для f(x) = |2x - 5| + 1:
- найдите вершину графика, ось симметрии;
- определите домен и диапазон.
Найдите вершину и минимальное значение функции f(x) = x^2 - 4x + 5.
Решите уравнение 4x - 7 = 0.
Рассмотрите p(x) = { x + 1, если x < 0; -x, если x ≥ 0 }.
- найдите p(-3) и p(0);
- является ли функция непрерывной в точке x = 0? Обоснуйте.
Найдите домен и диапазон функции f(x) = sqrt(3 - x^2).
Найдите домен и диапазон функции f(x) = 1/(x - 2).
Найдите среднюю скорость изменения функции f(x) = x^2 на отрезке [2, 5].
Пусть f(x) = sqrt(x) на домене x ≥ 0. Найдите обратную функцию f^{-1}(x) и запишите её формулу.
Даны f(x) = sqrt(x) и g(x) = x - 1. Найдите область определения и выражение h(x) = g(f(x)); запишите формулу и определите её диапазон.
Опишите, как изменится график любой функции y = f(x) при замене на y = f(-x) (отражение относительно оси Y).
Приведите реальный пример применения линейной функции f(x) = 3x + 2: поясните, что означает коэффициент при x и свободный член в контексте задачи (например, скорость изменения и начальное значение).

Ответы

f(5) = 3·5 - 4 = 11; f(-2) = 3·(-2) - 4 = -10.
Домeн: все вещественные x; Область значений: y ≥ -4 (вершина параболы x = 3, y = -4).
Домeн: все вещественные x; Диапазон: y ≥ 0; Ox: x = 4; Oy: y = 4.
f'(x) = 3x^2 - 3. Возрастание на (-∞, -1] и [1, ∞); убывание на [-1, 1].
Домeн: x ≥ -2; Диапазон: y ≥ 0.
x^2 - 1 = 3 → x^2 = 4 → x = -2 или x = 2.
f^{-1}(x) = (x - 3)/2.
(f ∘ g)(2) = f(g(2)) = f(4) = 2·4 + 1 = 9; (g ∘ f)(2) = g(f(2)) = g(5) = 25.
Это сдвиг графика вправо на 3 и вверх на 1: новая формула y = (x - 3)^2 + 1.
Вершина при 2x - 5 = 0 → x = 2.5; y = 1. Ось симметрии x = 2.5; домен R; диапазон y ≥ 1.
Вершина f(x) = x^2 - 4x + 5 при x = 2; значение f(2) = 1. Значение минимальное: 1. Диапазон: [1, ∞). Вектор вершины: (2, 1).
x = 7/4.
p(-3) = -2; p(0) = 0. График имеет разрыв в точке x = 0 (непрерывности нет, левая ветвь и правая ветвь не сходятся к одному значению в x = 0).
Домeн: [-√3, √3]; Диапазон: [0, √3].
Домeн: x ∈ R, x ≠ 2; Диапазон: y ∈ R, y ≠ 0.
Средняя скорость изменения: [f(5) - f(2)] / (5 - 2) = (25 - 4) / 3 = 21/3 = 7.
f^{-1}(x) = x^2 с учётом домена x ≥ 0.
h(x) = g(f(x)) = (sqrt(x)) - 1; Область определения: x ≥ 0; Диапазон: y ≥ -1.
Отражение графика относительно оси Y: график размещается зеркально на другую сторону по горизонтали (обратно по оси X).
Пример: f(x) = 3x + 2. Коэффициент при x (3) — скорость или скорость изменения зависимой величины по независимой; свободный член (2) — начальное значение при x = 0. Например, если x означает время в часах, а f(x) — расстояние в метрах, то скорость — 3 м/ч, начальное расстояние — 2 м.

Конечно! Вот итоговый тест по вероятности и статистике для учеников 10-го класса, состоящий из 20 открытых вопросов с ответами.

Итоговый тест по вероятности и статистике для 10 класса

Инструкция: Ответьте на каждый вопрос подробно, обосновывая свой ответ.

Определите, что такое вероятность события и приведите пример ее вычисления.
- Ответ: Вероятность события — это численная мера возможности его наступления, выражаемая числом от 0 до 1. Например, при броске игральной кости вероятность выпадения шестерки равна 1/6.
Каким образом можно вычислить относительную частоту события? Приведите пример.
- Ответ: Относительная частота — это отношение числа случаев, когда событие произошло, к общему числу испытаний. Например, если при 100 бросках кости выпало 20 шестерок, то относительная частота = 20/100 = 0.2.
Что такое дискретная случайная величина? Приведите пример.
- Ответ: Дискретная случайная величина — это такая, которая может принимать лишь отдельные значения. Например, количество выпавших на кости очков за один бросок.
Назовите основные свойства вероятности.
- Ответ: Вероятность неотрицательна (не меньше 0), максимальное значение — 1, сумма вероятностей всех исходов равна 1.
В урних 10 красных и 15 синих шаров. Вероятность вытянуть красный шар — это…?
- Ответ: P = 10 / (10 + 15) = 10 / 25 = 0.4.
Опишите, что такое математическое ожидание.
- Ответ: Математическое ожидание — это среднее значение случайной величины при большом числе испытаний.
Как определяется математическое ожидание для дискретной случайной величины?
- Ответ: M = Σ (значение × вероятность этого значения).
Объясните понятие вариации (дисперсии) в статистике.
- Ответ: Вариация — мера разброса значений случайной величины относительно её математического ожидания.
В чем разница между выборочной и генеральной совокупностью?
- Ответ: Генеральная совокупность — все возможные объекты изучения, выборка — их подмножество, используемое для анализа.
Каким образом рассчитывается среднее арифметическое несколько чисел?
- Ответ: Суммой всех чисел, деленной на их количество.
Что такое график разброса и в каком случае он используется?
- Ответ: График разброса — это диаграмма, показывающая зависимость двух переменных, используется для анализа корреляции.
Объясните понятие корреляции между двумя переменными.
- Ответ: Корреляция — это показатель степени связи между двумя переменными, положительная или отрицательная.
В таблице приведены оценки студентов по предмету: 3, 4, 5, 3, 4, 5, 4, 4. Найдите медиану.
- Ответ: Отсортируем: 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5. Медиана = (4 + 4) / 2 = 4.
В чем заключается смысл среднего квадратичного отклонения?
- Ответ: Это мера разброса данных относительно среднего значения.
Объясните, что такое закон больших чисел.
- Ответ: С развитием выборки среднее значение приближается к математическому ожиданию популяции.
Какие существуют основные виды выборок?
- Ответ: Простая случайная, систематическая, стратифицированная,.clustered
Как определяется и зачем нужен коэффициент корреляции Пирсона?
- Ответ: Он измеряет силу и направление линейной связи между двумя переменными.
В чем заключается отличие вероятности классического и экспериментального методов?
- Ответ: Классический — основан на равных вероятностях исходов, экспериментальный — основан на результатах экспериментов.
Объясните понятие случайного события с помощью примера.
- Ответ: Событие — это исход, который может или не может произойти при определенных условиях. Например, выпадение числа более 4 при броске игральной кости.
Почему важно знать статистические законы и вероятность при анализе данных?
- Ответ: Они помогают делать прогнозы, принимать решения и оценивать надежность данных.

Если нужен распечатанный или дополнительно разбитый по уровню сложности вариант, дайте знать!

Бесплатный сервис «Учительская»

Тест на тему Функции

Популярные тесты

Итоговый тест по вероятности и статистике для 10 класса

Тест по истории: Эпоха дворцовых переворотов

Вопросы:

Итоги:

Тест по информатике: Компьютерные сети