Подготовим к ЕГЭ за оставшееся времяна нужные баллы.
Пробный период бесплатно

осталось мест 52
Новая Школа - онлайн-школа подготовки к ЕГЭ
При поддержке
Узнать о курсах
Посмотреть все тесты нейросети

Тест на тему свойства числовых неравеств

22 сентября 2025 07:12

{Другой предмет}
9 Класс

Этот тест сгенерирован искусственным интеллектом. Возможны ошибки.

Сгенерировать свой тест

Ниже представлен тест из 5 открытых вопросов по теме «свойства числовых неравенств» для 9 класса. В конце приведены образцовые ответы.

Тест

  1. Пусть a, b, c — произвольные вещественные числа. Докажите, что если a ≤ b, то a + c ≤ b + c для любого c ∈ R. Приведите краткое обоснование.

  2. Рассмотрим неравенство a ≤ b и число c. Опишите, что произойдет с неравенством при умножении обеих частей на:

    • a) положительное число c > 0;
    • b) нулевое число c = 0;
    • c) отрицательное число c < 0. Приведите пример с конкретными числами для каждого случая.

  3. Решите неравенство в цепочке: 7 ≤ 3x + 2 ≤ 16. Найдите множество значений x и поясните, какие преобразования неравенства вы применяли на каждом шаге.

  4. Решите неравенство с цепочкой: -5 ≤ 2x − 7 ≤ 3. Найдите все x и поясните, как вы действовали с каждым преобразованием.

  5. Пусть 0 ≤ a ≤ b. Докажите или объясните, что a^2 ≤ b^2. Приведите два способа обоснования: через свойство монотонности функции и через факторизацию разности квадратов.

Ответы (образец)

  1. Обоснование: если a ≤ b, то к обеим сторонам неравенства можно прибавить одно и то же число c. Тогда a + c ≤ b + c. Формально это следует из свойства порядка вещественных чисел: добавление одного и того же элемента к обеим частям неравенства сохраняет направление неравенства.

  2. Три случая:

    • c > 0: из a ≤ b следует ac ≤ bc (умножение на положительное число сохраняет порядок). Пример: a = 1, b = 4, c = 2 → 2 ≤ 8.
    • c = 0: ac = 0 = bc, т.е. неравенство выполняется как равенство.
    • c < 0: из a ≤ b следует ac ≥ bc (умножение на отрицательное число разворачивает неравенство). Пример: a = 1, b = 4, c = -2 → -2 ≥ -8.

  3. Решение цепного неравенства: 7 ≤ 3x + 2 ≤ 16. Вычитаем 2: 5 ≤ 3x ≤ 14. Делим на 3: 5/3 ≤ x ≤ 14/3. Ответ: x ∈ [5/3, 14/3].

  4. Решение цепочного неравенства: -5 ≤ 2x − 7 ≤ 3. Прибавляем 7 ко всем частям: 2 ≤ 2x ≤ 10. Делим на 2: 1 ≤ x ≤ 5. Ответ: x ∈ [1, 5].

  5. Доказательства:

    • Способ 1 (монотонность квадратной функции на [0, ∞)): если 0 ≤ a ≤ b, то a^2 ≤ b^2, потому что функция f(t) = t^2 возрастает на отрезке [0, ∞) и применяя её к a и b получаем неравенство a^2 ≤ b^2.
    • Способ 2 (разность квадратов): b^2 − a^2 = (b − a)(b + a). Поскольку b ≥ a ≥ 0, имеем (b − a) ≥ 0 и (b + a) ≥ 0, значит произведение (b − a)(b + a) ≥ 0, следовательно b^2 ≥ a^2, т.е. a^2 ≤ b^2.

Если нужно, могу адаптировать тест под формат с пустыми полями для ответов или сделать другой набор задач по той же теме.

Сгенерировать свой тест

Популярные тесты

{Другой предмет}
7 Класс

Ниже тест по теме: Строение веществ. 7 класс. Тип вопросов: единственный правильный ответ. Всего 10 вопросов. Ответы указаны после каждого вопроса.

  1. Что такое атом? A) мельчайшая частица вещества, состоящая из протонов, нейтронов и электронов B) мельчайшая частица, которая не делится дальше C) элемент D) молекула Ответ: A

  2. Что такое молекула? A) частица вещества, состоящая из двух или более атомов B) частица вещества без атомов C) смесь веществ D) элемент Ответ: A

  3. Чистое вещество может быть: A) только элемент B) только соединение C) элемент или соединение D) смесь Ответ: C

  4. Какие существуют три агрегатных состояния вещества? A) твердое, жидкое, газообразное B) вода, лед, пар C) металл, неметалл, полупроводник D) раствор, эмульсия, суспензия Ответ: A

  5. Что такое раствор? A) чистая жидкость B) смесь веществ, в которой одно вещество равномерно растворено в другом на молекулярном уровне C) химическое соединение D) газ Ответ: B

  6. Пример простого вещества: A) вода B) кислород C) соль поваренная D) углекислый газ Ответ: B

  7. Что такое смесь? A) чистое вещество B) неразделимая на части C) сочетание двух или более веществ, в котором сохраняются их свойства D) одно вещество Ответ: C

  8. Что больше по размеру: атом или молекула? A) атом B) молекула C) они равны по размеру D) зависит от вещества Ответ: B

  9. Что происходит с частицами вещества при нагревании? A) скорости частиц уменьшаются B) расстояния между частицами не меняются C) ускоряются и расстояния между частицами увеличиваются D) ничего не изменяется Ответ: C

  10. Что означает слово «растворимость» вещества? A) способность вещества растворяться в другой жидкости B) скорость растворения C) цвет раствора D) плотность раствора Ответ: A

Если нужно, могу адаптировать вопросы под конкретные учебники или добавить пояснения к ответам.

{Другой предмет}
11 Класс

Тест по педагогике для 11 класса

Тема теста: ГИА и ЕГЭ. Задачи, преимущества и недостатки

Вопрос 1: Соотнесите задачи, преимущества и недостатки ГИА и ЕГЭ с соответствующими описаниями.

Задачи, преимущества и недостатки Описание
A. Задачи ГИА 1. Стандартизированный подход к оценке знаний
B. Преимущества ЕГЭ 2. Мотивация учеников к обучению
C. Недостатки ГИА и ЕГЭ 3. Проблемы с подготовкой к экзаменам и объективностью оценки
D. Мотивация учеников 4. Обеспечение равных условий для всех участников экзамена

Ответы:

  • A - 1
  • B - 4
  • C - 3
  • D - 2

Инструкция для учащихся:

  1. Соотнесите каждый пункт из первой колонки со соответствующим ему описанием из второй колонки.
  2. Убедитесь, что каждая буква имеет единственное соответствие из цифр.
  3. Запишите ваши ответы.

Удачи на тесте!

{Другой предмет}
2 Класс

Вот тест по математике для 2 класса на тему "Сложение через десяток". Вопросы открытые, и к каждому вопросу приведены ответы.

Тест по математике: Сложение через десяток

Вопрос 1: 9 + 5 = ?
Ответ: 14

Вопрос 2: 7 + 6 = ?
Ответ: 13

Вопрос 3: 8 + 4 = ?
Ответ: 12

Вопрос 4: 15 + 7 = ?
Ответ: 22

Вопрос 5: 12 + 9 = ?
Ответ: 21

Вопрос 6: 14 + 8 = ?
Ответ: 22

Вопрос 7: 16 + 5 = ?
Ответ: 21

Вопрос 8: 13 + 9 = ?
Ответ: 22

Вопрос 9: 17 + 6 = ?
Ответ: 23

Вопрос 10: 19 + 3 = ?
Ответ: 22

Итоговые ответы:

  1. 14
  2. 13
  3. 12
  4. 22
  5. 21
  6. 22
  7. 21
  8. 22
  9. 23
  10. 22

Этот тест поможет ученикам закрепить навыки сложения чисел, пересекающих десяток. Удачи на экзамене!

Новая Школа

Тренажёр ОГЭТренажёр ЕГЭО Новой ШколеВакансииОтзывыСведения об образовательной организацииОбразовательная лицензия

Контакты

+7 964 727-31-41

Служба поддержки

Ежедневно с 10:00 до 22:00

Мобильное приложение

Саша — ассистент в телеграмме

ПО распространяется в виде интернет-сервиса, специальные действия по установке ПО на стороне пользователя не требуются

© Новая Школа 2026
Политика конфиденциальностиПользовательское соглашениеДоговор-оферта