Новая Школа - онлайн-школа подготовки к ЕГЭ
При поддержке
Узнать о курсах
Посмотреть все тесты нейросети

Тест на тему свойства числовых неравеств

22 сентября 2025 07:12

{Другой предмет}
9 Класс

Этот тест сгенерирован искусственным интеллектом. Возможны ошибки.

Сгенерировать свой тест

Ниже представлен тест из 5 открытых вопросов по теме «свойства числовых неравенств» для 9 класса. В конце приведены образцовые ответы.

Тест

  1. Пусть a, b, c — произвольные вещественные числа. Докажите, что если a ≤ b, то a + c ≤ b + c для любого c ∈ R. Приведите краткое обоснование.

  2. Рассмотрим неравенство a ≤ b и число c. Опишите, что произойдет с неравенством при умножении обеих частей на:

    • a) положительное число c > 0;
    • b) нулевое число c = 0;
    • c) отрицательное число c < 0. Приведите пример с конкретными числами для каждого случая.

  3. Решите неравенство в цепочке: 7 ≤ 3x + 2 ≤ 16. Найдите множество значений x и поясните, какие преобразования неравенства вы применяли на каждом шаге.

  4. Решите неравенство с цепочкой: -5 ≤ 2x − 7 ≤ 3. Найдите все x и поясните, как вы действовали с каждым преобразованием.

  5. Пусть 0 ≤ a ≤ b. Докажите или объясните, что a^2 ≤ b^2. Приведите два способа обоснования: через свойство монотонности функции и через факторизацию разности квадратов.

Ответы (образец)

  1. Обоснование: если a ≤ b, то к обеим сторонам неравенства можно прибавить одно и то же число c. Тогда a + c ≤ b + c. Формально это следует из свойства порядка вещественных чисел: добавление одного и того же элемента к обеим частям неравенства сохраняет направление неравенства.

  2. Три случая:

    • c > 0: из a ≤ b следует ac ≤ bc (умножение на положительное число сохраняет порядок). Пример: a = 1, b = 4, c = 2 → 2 ≤ 8.
    • c = 0: ac = 0 = bc, т.е. неравенство выполняется как равенство.
    • c < 0: из a ≤ b следует ac ≥ bc (умножение на отрицательное число разворачивает неравенство). Пример: a = 1, b = 4, c = -2 → -2 ≥ -8.

  3. Решение цепного неравенства: 7 ≤ 3x + 2 ≤ 16. Вычитаем 2: 5 ≤ 3x ≤ 14. Делим на 3: 5/3 ≤ x ≤ 14/3. Ответ: x ∈ [5/3, 14/3].

  4. Решение цепочного неравенства: -5 ≤ 2x − 7 ≤ 3. Прибавляем 7 ко всем частям: 2 ≤ 2x ≤ 10. Делим на 2: 1 ≤ x ≤ 5. Ответ: x ∈ [1, 5].

  5. Доказательства:

    • Способ 1 (монотонность квадратной функции на [0, ∞)): если 0 ≤ a ≤ b, то a^2 ≤ b^2, потому что функция f(t) = t^2 возрастает на отрезке [0, ∞) и применяя её к a и b получаем неравенство a^2 ≤ b^2.
    • Способ 2 (разность квадратов): b^2 − a^2 = (b − a)(b + a). Поскольку b ≥ a ≥ 0, имеем (b − a) ≥ 0 и (b + a) ≥ 0, значит произведение (b − a)(b + a) ≥ 0, следовательно b^2 ≥ a^2, т.е. a^2 ≤ b^2.

Если нужно, могу адаптировать тест под формат с пустыми полями для ответов или сделать другой набор задач по той же теме.

Сгенерировать свой тест

Популярные тесты

{Другой предмет}
11 Класс

Вот тест по физике для 11 класса на тему "Механические волны, условия распространения. Период. Скорость распространения и длина волны. Поперечные и продольные волны". В конце приведены правильные ответы.

Тест по физике: Механические волны

Вопросы:

  1. Какое из следующих условий необходимо для распространения механических волн? a) Наличие вакуума
    b) Наличие среды
    c) Наличие магнитного поля
    d) Наличие электрического поля

  2. Как определяется период волны? a) Время, за которое волна проходит единичное расстояние
    b) Время, за которое волна проходит полный цикл
    c) Длина волны деленная на скорость
    d) Скорость деленная на длину волны

  3. Как вычисляется скорость распространения волны? a) Скорость = длина волны / период
    b) Скорость = период / длина волны
    c) Скорость = длина волны × период
    d) Скорость = период × длина волны

  4. Что из перечисленного является поперечной волной? a) Звук
    b) Вода
    c) Электромагнитные волны
    d) Сейсмические P-волны

  5. Какова длина волны, если скорость волны составляет 340 м/с, а период — 0,1 с? a) 3,4 м
    b) 34 м
    c) 0,34 м
    d) 34 см

  6. Какое из следующих утверждений верно для продольной волны? a) Частицы среды движутся перпендикулярно направлению распространения волны
    b) Частицы среды движутся параллельно направлению распространения волны
    c) Волна всегда распространяется в вакууме
    d) Она не может распространяться в твердых телах

  7. Как называется максимальное смещение частицы среды от положения равновесия в волне? a) Длина волны
    b) Амплитуда
    c) Период
    d) Частота

  8. Если частота механической волны составляет 500 Гц, каков ее период? a) 0,002 с
    b) 0,005 с
    c) 0,02 с
    d) 2 с

  9. Каковы основные свойства механических волн? a) Дифракция, интерференция, поляризация
    b) Температура, давление, плотность
    c) Зависимость от магнитного поля
    d) Непром.transforms вещей

  10. В каком из случаев будет возникать стоячая волна? a) Когда волна отражается от границы и встречается с исходной волной
    b) Когда волна проходит через вакуум
    c) Когда волна распространяется в однородной среде без препятствий
    d) Когда волны с разными частотами встречаются

Ответы:

  1. b) Наличие среды
  2. b) Время, за которое волна проходит полный цикл
  3. a) Скорость = длина волны / период
  4. c) Электромагнитные волны
  5. a) 3,4 м
  6. b) Частицы среды движутся параллельно направлению распространения волны
  7. b) Амплитуда
  8. b) 0,002 с
  9. a) Дифракция, интерференция, поляризация
  10. a) Когда волна отражается от границы и встречается с исходной волной

Надеюсь, этот тест поможет в подготовке к экзамену! Удачи!

{Другой предмет}
3 Класс

Вот тест по таблице умножения для третьеклассников с открытыми вопросами. В конце теста приведены ответы.

Тест по математике: Таблица умножения

1. Сколько будет 4 × 3?

2. Вычисли 7 × 5.

3. Что получится, если умножить 8 на 6?

4. Найди произведение 9 × 2.

5. Сколько будет 5 × 5?

6. Умножь 6 на 4 и запиши ответ.

7. Что получается, когда мы умножаем 3 на 7?

8. Вычисли 2 × 8.

9. Сколько будет 10 × 9?

10. Умножь 1 на 12 и запиши результат.

Ответы:

  1. 12
  2. 35
  3. 48
  4. 18
  5. 25
  6. 24
  7. 21
  8. 16
  9. 90
  10. 12

Этот тест поможет школьникам проверить свои знания по таблице умножения. Удачи на экзамене!

{Другой предмет}
6 Класс

Тест по Истории: Средние века (1 тест, 10 вопросов, тип вопросов – единственный выбор)

  1. Что такое феодальная система? A) Система управления государством единым центром B) Экономико-правовой порядок, основанный на вассалитете и держании земли C) Религиозная организация D) Торговая сеть Ответ: B

  2. Что такое феод? A) Денежная единица B) Земельный участок, переданный вассалу за службу C) Вид оружия D) Городское право Ответ: B

  3. Кто такие рыцари? A) Крестьяне, занятые на земле B) Воины при дворе короля, носившие доспехи и соблюдавшие кодекс чести C) Монахи, занимающиеся наукой D) Торговцы Ответ: B

  4. Что называли манором или феодальным поместьем? A) Общественный праздник B) Феодальная усадьба с хозяйством и крепостными C) Городское собрание D) Религиозное учреждение Ответ: B

  5. Что такое гильдия? A) Политическая партия B) Объединение ремесленников по профессии для регулирования цен и качества C) Церковная организация D) Торговый союз городов Ответ: B

  6. Что стало причиной крестовых походов? A) Борьба между европейскими государствами B) Походы христиан на Святую землю во имя религии C) Развитие мануфактур D) Появление демократии Ответ: B

  7. Как назывались зависимые крестьяне, обязанные работать на феодала? A) Свободные крестьяне B) Крепостные (сервы) C) Рабовладельцы D) Купцы Ответ: B

  8. Что отличало средневековый город от деревни? A) Город имел стены, рынок и администрацию B) Город был окружён лесом C) В городе не было церкви D) В городе не было ремесел Ответ: A

  9. Кто возглавлял католическую церковь в Европе в средние века? A) Император B) Папа римский C) Монах D) Король Ответ: B

  10. Что характеризовало монастыри в средневековой Европе? A) Они были центрами хранения и передачи знаний, переписывания и сохранения книг B) Они запрещали образование C) Они строили только замки D) Они занимались исключительно сельским хозяйством Ответ: A

Ответы (ключ к тесту): 1 – B 2 – B 3 – B 4 – B 5 – B 6 – B 7 – B 8 – A 9 – B 10 – A

{Другой предмет}
10 Класс

Тест по предмету «Информатика»
Тема: Требования техники безопасности и гигиены при работе с компьютерами и другими компонентами цифрового окружения

Вопрос:
Объясните, почему важно соблюдать требования техники безопасности и гигиены при работе с компьютерами и другими цифровыми устройствами. В своём ответе укажите основные меры предосторожности, которые следует соблюдать для защиты здоровья и предотвращения возможных повреждений оборудования.

Новая Школа

Тренажёр ОГЭТренажёр ЕГЭО Новой ШколеВакансииОтзывыСведения об образовательной организацииОбразовательная лицензия

Контакты

+7 964 727-31-41

Служба поддержки

Ежедневно с 10:00 до 22:00

Мобильное приложение

Саша — ассистент в телеграмме

ПО распространяется в виде интернет-сервиса, специальные действия по установке ПО на стороне пользователя не требуются

© Новая Школа 2026
Политика конфиденциальностиПользовательское соглашениеДоговор-оферта