Тест на тему применение производной для исследования функций

Ниже представлен тест по математике на тему: «Применение производной для исследования функций», для 11 класса. Тип вопросов — открытые. Количество вопросов: 10. Вывод теста с ответами — да.

Часть 1. Тест (10 открытых вопросов)

1. Пусть f(x) = x^3 − 6x^2 + 9x + 1.

• Найдите производную f'(x).
• Найдите критические точки.
• Определите интервалы возрастания и убывания.
• Найдите локальные экстремумы и их значения.
• Укажите природу экстремумов с помощью второй производной.

2. Пусть g(x) = e^x − x^2.

• Найдите интервалы возрастания и убывания (используйте знак производной).
• Найдите локальные экстремумы, если они есть.
• Найдите точку перегиба (инфлексии) функции, используя вторую производную.

3. Пусть h(x) = ln x − x^2, x > 0.

• Найдите точки роста/падения (интервалы монотонности).
• Найдите локальный максимум и его значение.
• Исследуйте выпуклость (конвексность) и найдите, есть ли точки перегиба.

4. Оптимизация площади прямоугольника с фиксированным периметром P = 40.

• Пусть одна сторона равна x, другая — 20 − x (0 < x < 20). Найдите размер стороны, обеспечивающий максимальную площадь.
• Найдите максимальную площадь прямоугольника и его размеры.

5. Пусть f(x) = x^4 − 4x^3 + 5.

• Найдите все критические точки.
• Определите интервалы возрастания/убывания и локальные экстремумы.
• Укажите значения экстремумов (если нужно, вычислите f в точках экстремумов).
• При желании, найдите точки перегиба через вторую производную.

6. Пусть f(x) = √x, domain x ≥ 0.

• Найдите производную и её знак (интервалы).
• Определите выпуклость функции (интервал выпуклости) и наличие точек перегиба.

7. Пусть известно, что f'(x) = x^2 − 6x + 5.

• Определите интервалы возрастания и убывания функции f.
• Найдите локальные экстремумы и их виды.

8. Пусть f(x) = x^4 − 4x^3.

• Найдите критические точки и интервалы монотонности.
• Найдите местный минимум (и значения функции в точке минимума).
• Найдите точки перегиба, если они есть (через вторую производную).

9. Тangent-применение производной.

• Пусть f(x) = ln x и x0 = 1.
• Найдите касательную к графику в точке x0 и её уравнение.
• Используя касательную, оцените значение f(1.1) (приближённо).

10. Практическая оптимизация прибыли.

• Пусть функция прибыли P(x) задана как P(x) = −x^2 + 60x − 200.
• Найдите x, при котором достигается максимальная прибыль, и её значение.
• Укажите, что это максимум (поясните через знак второй производной или знак вокруг точки).

Часть 2. Ответы и решения

1. f(x) = x^3 − 6x^2 + 9x + 1

• f'(x) = 3x^2 − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3)
• Критические точки: x = 1 и x = 3
• intervals: f' > 0 на (−∞, 1) и (3, ∞); f' < 0 на (1, 3) => функция возрастает на (−∞, 1) и (3, ∞); убывает на (1, 3)
• Локальные экстремумы: локальный максимум при x = 1; локальный минимум при x = 3
• Значения: f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5; f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1
• Вторая производная: f''(x) = 6x − 12 • f''(1) = −6 < 0 ⇒ локальный максимум при x = 1 • f''(3) = 6 > 0 ⇒ локальный минимум при x = 3

2. g(x) = e^x − x^2

• g'(x) = e^x − 2x
• Анализ g'(x): h(x) = e^x − 2x имеет уникальный минимум при h'(x) = e^x − 2 = 0 ⇒ x = ln 2; h(ln 2) = 2 − 2 ln 2 > 0 => g'(x) > 0 для всех x; g возрастает на всей области.
• Нет локальных экстремумов.
• Вторая производная: g''(x) = e^x − 2; инфлексия при x = ln 2, т.к. g'' меняет знак.
• Значение в точке перегиба: g(ln 2) = 2 − (ln 2)^2 ≈ 1.520

3. h(x) = ln x − x^2, x > 0

• h'(x) = 1/x − 2x; h'(x) = 0 при x^2 = 1/2 ⇒ x = 1/√2
• Монотонность: на (0, 1/√2) возрастает; на (1/√2, ∞) убывает
• Локальный максимум в x = 1/√2; значение h(1/√2) = ln(1/√2) − 1/2 = −(1/2) ln 2 − 1/2
• Вторая производная: h''(x) = −1/x^2 − 2 < 0 для всех x > 0; функция строго вогнута (конкавна) вниз; точек перегиба нет

4. Прямоугольник с периметром P = 40

• Пусть одна сторона x, другая 20 − x (0 < x < 20)
• Площадь A(x) = x(20 − x) = 20x − x^2
• A'(x) = 20 − 2x = 0 ⇒ x = 10
• A''(x) = −2 < 0 ⇒ максимум
• Максимальная площадь: A(10) = 10 · 10 = 100
• Размеры: 10 и 10 (квадрат)

5. f(x) = x^4 − 4x^3 + 5

• f'(x) = 4x^3 − 12x^2 = 4x^2(x − 3)
• Критические точки: x = 0 (повторный корень) и x = 3
• Интервалы монотонности: на (−∞, 0) убывает; на (0, 3) убывает; на (3, ∞) возрастает
• В точке x = 3 локальный минимум (потому что производная меняет знак с минуса на плюс)
• Значение минимума: f(3) = 81 − 108 + 5 = −22
• Точка x = 0 не является экстремумом (производная не меняет знак)
• Вторая производная: f''(x) = 12x^2 − 24x = 12x(x − 2) • Инфлексии при x = 0 и x = 2 (проверка знаков вокруг)

6. f(x) = √x, x ≥ 0

• f'(x) = 1/(2√x) > 0 для x > 0
• f''(x) = −1/(4 x^(3/2)) < 0 для x > 0
• Следовательно: функция возрастает на (0, ∞) и выпукла вниз (конкавна) на (0, ∞); точек перегиба в области определения нет

7. f'(x) = x^2 − 6x + 5

• Корни: x = 1 и x = 5
• Монотонность: для x < 1 — f' > 0; для 1 < x < 5 — f' < 0; для x > 5 — f' > 0
• Значит: возрастает на (−∞, 1) и (5, ∞); убывает на (1, 5)
• Локальные экстремумы: максимум в x = 1; минимум в x = 5
• Значения f в этих точках зависят от заданной исходной функции f (вопрос только о местоположении экстремумов по производной)

8. f(x) = x^4 − 4x^3

• f'(x) = 4x^3 − 12x^2 = 4x^2(x − 3)
• Критические точки: x = 0 и x = 3
• Монотонность: (-∞, 0) — убывает; (0, 3) — убывает; (3, ∞) — возрастает
• Локальный минимум в x = 3: f(3) = 81 − 108 = −27
• В точке x = 0 стационарная точка, но экстремума нет (нет смены знака)
• Вторая производная: f''(x) = 12x^2 − 24x = 12x(x − 2) • Инфлексии: x = 0 и x = 2 (проверка знаков слева/справа) • вокруг x = 0 знаки меняются: (-∞, 0): f'' > 0; (0, 2): f'' < 0 → точка перегиба в 0 • вокруг x = 2: (0, 2): f'' < 0; (2, ∞): f'' > 0 → точка перегиба в 2

9. Т tangent-применение производной.

• Пусть f(x) = ln x, x0 = 1
• Значение в точке: f(1) = 0
• Производная в точке: f'(1) = 1/1 = 1
• Уравнение касательной: y − f(1) = f'(1)(x − 1) ⇒ y = x − 1
• Приближённая оценка f(1.1) по касательной: f(1.1) ≈ 1.1 − 1 = 0.1
• Точное значение: ln(1.1) ≈ 0.0953 (для сравнения)

10. Практическая оптимизация прибыли.

• P(x) = −x^2 + 60x − 200
• P'(x) = −2x + 60
• Корень: x = 30
• P''(x) = −2 < 0 ⇒ это максимум
• Максимальная прибыль: P(30) = −900 + 1800 − 200 = 700
• Прибыль достигается при выпуске 30 единиц (при условии допустимого диапазона)

Если нужно, могу адаптировать вопросы под конкретный уровень или добавить дополнительные пояснения к каждому решению.