Подготовим к ЕГЭ за оставшееся времяна нужные баллы.
Пробный период бесплатно
Бесплатный сервис «Учительская»
Соберите тест из готовой базы заданий ЕГЭ. Ученики решат этот тест и вы увидите их ответы прямо на платформе
Собрать тест ЕГЭТест на тему применение производной для исследования функций
03 октября 2025 19:08
Ниже представлен тест по математике на тему: «Применение производной для исследования функций», для 11 класса. Тип вопросов — открытые. Количество вопросов: 10. Вывод теста с ответами — да.
Часть 1. Тест (10 открытых вопросов)
- Пусть f(x) = x^3 − 6x^2 + 9x + 1.
- Найдите производную f'(x).
- Найдите критические точки.
- Определите интервалы возрастания и убывания.
- Найдите локальные экстремумы и их значения.
- Укажите природу экстремумов с помощью второй производной.
- Пусть g(x) = e^x − x^2.
- Найдите интервалы возрастания и убывания (используйте знак производной).
- Найдите локальные экстремумы, если они есть.
- Найдите точку перегиба (инфлексии) функции, используя вторую производную.
- Пусть h(x) = ln x − x^2, x > 0.
- Найдите точки роста/падения (интервалы монотонности).
- Найдите локальный максимум и его значение.
- Исследуйте выпуклость (конвексность) и найдите, есть ли точки перегиба.
- Оптимизация площади прямоугольника с фиксированным периметром P = 40.
- Пусть одна сторона равна x, другая — 20 − x (0 < x < 20). Найдите размер стороны, обеспечивающий максимальную площадь.
- Найдите максимальную площадь прямоугольника и его размеры.
- Пусть f(x) = x^4 − 4x^3 + 5.
- Найдите все критические точки.
- Определите интервалы возрастания/убывания и локальные экстремумы.
- Укажите значения экстремумов (если нужно, вычислите f в точках экстремумов).
- При желании, найдите точки перегиба через вторую производную.
- Пусть f(x) = √x, domain x ≥ 0.
- Найдите производную и её знак (интервалы).
- Определите выпуклость функции (интервал выпуклости) и наличие точек перегиба.
- Пусть известно, что f'(x) = x^2 − 6x + 5.
- Определите интервалы возрастания и убывания функции f.
- Найдите локальные экстремумы и их виды.
- Пусть f(x) = x^4 − 4x^3.
- Найдите критические точки и интервалы монотонности.
- Найдите местный минимум (и значения функции в точке минимума).
- Найдите точки перегиба, если они есть (через вторую производную).
- Тangent-применение производной.
- Пусть f(x) = ln x и x0 = 1.
- Найдите касательную к графику в точке x0 и её уравнение.
- Используя касательную, оцените значение f(1.1) (приближённо).
- Практическая оптимизация прибыли.
- Пусть функция прибыли P(x) задана как P(x) = −x^2 + 60x − 200.
- Найдите x, при котором достигается максимальная прибыль, и её значение.
- Укажите, что это максимум (поясните через знак второй производной или знак вокруг точки).
Часть 2. Ответы и решения
- f(x) = x^3 − 6x^2 + 9x + 1
- f'(x) = 3x^2 − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3)
- Критические точки: x = 1 и x = 3
- intervals: f' > 0 на (−∞, 1) и (3, ∞); f' < 0 на (1, 3) => функция возрастает на (−∞, 1) и (3, ∞); убывает на (1, 3)
- Локальные экстремумы: локальный максимум при x = 1; локальный минимум при x = 3
- Значения: f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5; f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1
- Вторая производная: f''(x) = 6x − 12 • f''(1) = −6 < 0 ⇒ локальный максимум при x = 1 • f''(3) = 6 > 0 ⇒ локальный минимум при x = 3
- g(x) = e^x − x^2
- g'(x) = e^x − 2x
- Анализ g'(x): h(x) = e^x − 2x имеет уникальный минимум при h'(x) = e^x − 2 = 0 ⇒ x = ln 2; h(ln 2) = 2 − 2 ln 2 > 0 => g'(x) > 0 для всех x; g возрастает на всей области.
- Нет локальных экстремумов.
- Вторая производная: g''(x) = e^x − 2; инфлексия при x = ln 2, т.к. g'' меняет знак.
- Значение в точке перегиба: g(ln 2) = 2 − (ln 2)^2 ≈ 1.520
- h(x) = ln x − x^2, x > 0
- h'(x) = 1/x − 2x; h'(x) = 0 при x^2 = 1/2 ⇒ x = 1/√2
- Монотонность: на (0, 1/√2) возрастает; на (1/√2, ∞) убывает
- Локальный максимум в x = 1/√2; значение h(1/√2) = ln(1/√2) − 1/2 = −(1/2) ln 2 − 1/2
- Вторая производная: h''(x) = −1/x^2 − 2 < 0 для всех x > 0; функция строго вогнута (конкавна) вниз; точек перегиба нет
- Прямоугольник с периметром P = 40
- Пусть одна сторона x, другая 20 − x (0 < x < 20)
- Площадь A(x) = x(20 − x) = 20x − x^2
- A'(x) = 20 − 2x = 0 ⇒ x = 10
- A''(x) = −2 < 0 ⇒ максимум
- Максимальная площадь: A(10) = 10 · 10 = 100
- Размеры: 10 и 10 (квадрат)
- f(x) = x^4 − 4x^3 + 5
- f'(x) = 4x^3 − 12x^2 = 4x^2(x − 3)
- Критические точки: x = 0 (повторный корень) и x = 3
- Интервалы монотонности: на (−∞, 0) убывает; на (0, 3) убывает; на (3, ∞) возрастает
- В точке x = 3 локальный минимум (потому что производная меняет знак с минуса на плюс)
- Значение минимума: f(3) = 81 − 108 + 5 = −22
- Точка x = 0 не является экстремумом (производная не меняет знак)
- Вторая производная: f''(x) = 12x^2 − 24x = 12x(x − 2) • Инфлексии при x = 0 и x = 2 (проверка знаков вокруг)
- f(x) = √x, x ≥ 0
- f'(x) = 1/(2√x) > 0 для x > 0
- f''(x) = −1/(4 x^(3/2)) < 0 для x > 0
- Следовательно: функция возрастает на (0, ∞) и выпукла вниз (конкавна) на (0, ∞); точек перегиба в области определения нет
- f'(x) = x^2 − 6x + 5
- Корни: x = 1 и x = 5
- Монотонность: для x < 1 — f' > 0; для 1 < x < 5 — f' < 0; для x > 5 — f' > 0
- Значит: возрастает на (−∞, 1) и (5, ∞); убывает на (1, 5)
- Локальные экстремумы: максимум в x = 1; минимум в x = 5
- Значения f в этих точках зависят от заданной исходной функции f (вопрос только о местоположении экстремумов по производной)
- f(x) = x^4 − 4x^3
- f'(x) = 4x^3 − 12x^2 = 4x^2(x − 3)
- Критические точки: x = 0 и x = 3
- Монотонность: (-∞, 0) — убывает; (0, 3) — убывает; (3, ∞) — возрастает
- Локальный минимум в x = 3: f(3) = 81 − 108 = −27
- В точке x = 0 стационарная точка, но экстремума нет (нет смены знака)
- Вторая производная: f''(x) = 12x^2 − 24x = 12x(x − 2) • Инфлексии: x = 0 и x = 2 (проверка знаков слева/справа) • вокруг x = 0 знаки меняются: (-∞, 0): f'' > 0; (0, 2): f'' < 0 → точка перегиба в 0 • вокруг x = 2: (0, 2): f'' < 0; (2, ∞): f'' > 0 → точка перегиба в 2
- Т tangent-применение производной.
- Пусть f(x) = ln x, x0 = 1
- Значение в точке: f(1) = 0
- Производная в точке: f'(1) = 1/1 = 1
- Уравнение касательной: y − f(1) = f'(1)(x − 1) ⇒ y = x − 1
- Приближённая оценка f(1.1) по касательной: f(1.1) ≈ 1.1 − 1 = 0.1
- Точное значение: ln(1.1) ≈ 0.0953 (для сравнения)
- Практическая оптимизация прибыли.
- P(x) = −x^2 + 60x − 200
- P'(x) = −2x + 60
- Корень: x = 30
- P''(x) = −2 < 0 ⇒ это максимум
- Максимальная прибыль: P(30) = −900 + 1800 − 200 = 700
- Прибыль достигается при выпуске 30 единиц (при условии допустимого диапазона)
Если нужно, могу адаптировать вопросы под конкретный уровень или добавить дополнительные пояснения к каждому решению.
Популярные тесты
Тест по английскому языку Тема: Настоящее простое время Класс: 5-й Тип вопросов: Единственный выбор Количество вопросов: 10 Инструкция: выберите один верный ответ для каждого вопроса. Вывод теста с ответами: Да
Вопросы:
She _____ to school every day. A) goes B) go C) going D) goed
We ____ to the cinema on Saturdays. A) goes B) go C) going D) went
I usually ____ breakfast at 7 o'clock. A) eat B) eats C) eating D) eaten
He ____ his homework every day. A) do B) does C) doing D) did
They ____ coffee in the morning. A) drinks B) drink C) drinking D) drank
______ you like apples? A) Do B) Does C) Are D) Is
My brother ____ playing the guitar. A) enjoys B) enjoy C) is enjoying D) is enjoy
The train to New York ____ at 6 PM. A) leave B) leaves C) leaving D) left
The sun ____ in the east. A) rise B) rises C) rising D) rose
Water ____ freezes at 0 degrees Celsius. A) freeze B) freezes C) freezing D) froze
Ответы: 1 A 2 B 3 A 4 B 5 B 6 A 7 A 8 B 9 B 10 B
Тест по русскому языку на тему "Глагол" для 3 класса
1. Какой из следующих слов является глаголом?
a) Кошка
b) Бежать
c) Красивый
d) Дерево
2. Какой глагол обозначает действие, которое происходит сейчас?
a) Пишу
b) Написал
c) Напишу
d) Писал
3. Какой из следующих глаголов стоит в форме прошедшего времени?
a) Гуляю
b) Гулял
c) Погуляю
d) Гулять
4. Выберите глагол, который обозначает будущее время.
a) Играю
b) Играл
c) Буду играть
d) Играл
5. Какой из следующих глаголов является переходным?
a) Бегать
b) Слушать
c) Плавать
d) Размышлять
6. Найдите антоним к глаголу "прыгать".
a) Лежать
b) Сидеть
c) Ползти
d) Застыть
7. Какой глагол образован от существительного "свет"?
a) Светить
b) Светался
c) Со светом
d) Светит
8. Какой из данных глаголов употребляется в отрицательной форме?
a) Убегал
b) Не убегал
c) Убегу
d) Убегает
9. Выберите глагол, который употребляется с предлогом "в".
a) Бегаю
b) Принимаю
c) Смотрю
d) Уйти
10. Какой из следующих глаголов выражает движение?
a) Спать
b) Идти
c) Цветать
d) Учить
11. Какой из глаголов является многозначным?
a) Бросать
b) Разбирать
c) Собирать
d) Говорить
12. Какой из данных глаголов является синонимом к слову "говорить"?
a) Сказать
b) Молчать
c) Писать
d) Читать
13. Какой глагол означает "продолжать делать что-то"?
a) Закончить
b) Продолжить
c) Перестать
d) Начать
14. Какому из глаголов соответствует действие "писать"?
a) Бумага
b) Ручка
c) Письмо
d) Печать
15. Выберите глагол, который обозначает действие во множественном числе.
a) Прыгаю
b) Прыгаем
c) Прыгала
d) Прыгать
16. Что подчеркивает глагол "помогать"?
a) Совершенное действие
b) Совершенное состояние
c) Несовершенное действие
d) Изменение состояния
17. Какой глагол означает "спать"?
a) Не спать
b) Спать
c) Сидеть
d) Лежать
18. Найдите правильное использование глагола в предложении: "Он... за гаджетом."
a) Смотрит
b) Смотрит на
c) Посмотрел на
d) Смотрел
19. Какой из следующего списка является глаголом-связкой?
a) Быть
b) Читать
c) Играть
d) Бегать
20. Выберите глагол, который не относится к процессам.
a) Учить
b) Понимать
c) Будущее
d) Ходить
21. Какой из следующих глаголов имеет суффикс "и"?
a) Бегает
b) Летает
c) Катается
d) Все варианты верны
22. Найдите глагол, который означает "показывать".
a) Объяснять
b) Маскировать
c) Демонстрировать
d) Разбираться
23. Выберите правильную форму глагола "брать" в настоящем времени.
a) Беру
b) Брал
c) Возьму
d) Брала
24. Какой из следующих глаголов употребляется в повелительном наклонении?
a) Ты пойдешь
b) Пойди
c) Я пойду
d) Он пойдет
25. Что такое глагол?
a) Слово, обозначающее предмет
b) Слово, обозначающее действие
c) Слово, обозначающее признак
d) Слово, обозначающее качество
26. Какой из следующих глаголов является несовершенным видом?
a) Написать
b) Писать
c) Написать
d) Записать
27. Какой из данных глаголов является возвратным?
a) Мыться
b) Играть
c) Понимать
d) Писать
28. Какой глагол образует вопросительное предложение?
a) Ты играешь?
b) Играешь?
c) Играет?
d) Все варианты верны
29. Какой глагол не имеет начальной формы?
a) Говорить
b) Читал
c) Играл
d) Играет
30. Какой из следующих глаголов выражает действие в будущем времени?
a) Говорил
b) Буду говорить
c) Говорю
d) Говорил
Тест завершен. Удачи!
Тест по биологии для 9 класса: Опорно-двигательная система
Вопрос 1:
Какое из следующих веществ составляет основную часть костной ткани?
a) Хрящ
b) Коллаген
c) Глюкоза
d) Липиды
Ответ: b) Коллаген
Вопрос 2:
Какие из следующих элементов являются основными для формирования костной ткани?
a) Кальций и фосфор
b) Железо и магний
c) Натрий и калий
d) Углерод и кислород
Ответ: a) Кальций и фосфор
Вопрос 3:
Какое из приведённых ниже образований является частью скелета человека?
a) Легкие
b) Сердце
c) Позвоночник
d) Печень
Ответ: c) Позвоночник
Вопрос 4:
Что такое сустав?
a) Место соединения двух костей
b) Неподвижная часть скелета
c) Образование, отвечающее за поддержку тела
d) Мышечная ткань
Ответ: a) Место соединения двух костей
Вопрос 5:
Какое из следующих утверждений о мышцах верно?
a) Мышцы обеспечивают только пассивное движение тела
b) Мышцы могут сокращаться и расслабляться
c) Все мышцы являются гладкими
d) Мышцы не участвуют в поддержании равновесия
Ответ: b) Мышцы могут сокращаться и расслабляться
Вопрос 6:
Какая из перечисленных систем органов отвечает за движение и поддержку тела?
a) Пищеварительная система
b) Дыхательная система
c) Опорно-двигательная система
d) Нервная система
Ответ: c) Опорно-двигательная система
Этот тест поможет проверить знания школьников о опорно-двигательной системе и подготовить их к экзаменам. Удачи!
Тест по физике для 9 класса на тему "Момент силы"
Вопрос 1: Что такое момент силы?
A) Это величина, равная произведению силы на расстояние от точки приложения силы до оси вращения.
B) Это сила, действующая на тело в движении.
C) Это сумма всех сил, действующих на тело.
D) Это скорость изменения силы.
Ответ: A
Вопрос 2: Каковы единицы измерения момента силы в системе СИ?
A) Ньютон (Н)
B) Ньютон-метр (Н·м)
C) Джоуль (Дж)
D) Паскаль (Па)
Ответ: B
Вопрос 3: Если сила 10 Н прикладывается на расстоянии 0.5 м от оси вращения, каков момент силы?
A) 5 Н·м
B) 10 Н·м
C) 15 Н·м
D) 20 Н·м
Ответ: A
Вопрос 4: Как изменится момент силы, если увеличить расстояние от точки приложения силы до оси вращения в два раза, при том же значении силы?
A) Увеличится в 2 раза
B) Увеличится в 4 раза
C) Останется неизменным
D) Уменьшится в 2 раза
Ответ: A
Вопрос 5: Каков момент силы, если на рычаг длиной 2 м действует сила в 15 Н, перпендикулярно к рычагу?
A) 15 Н·м
B) 30 Н·м
C) 45 Н·м
D) 60 Н·м
Ответ: B
Итоговые ответы:
- A
- B
- A
- A
- B
ОБЩЕСТВО С ОГРАНИЧЕННОЙ ОТВЕТСТВЕННОСТЬЮ «НОВАЯ
ШКОЛА»
420500, РЕСПУБЛИКА ТАТАРСТАН, М.Р-Н ВЕРХНЕУСЛОНСКИЙ, Г.П. ГОРОД ИННОПОЛИС, Г ИННОПОЛИС, УЛ УНИВЕРСИТЕТСКАЯ, Д. 5, ЭТАЖ 1, ПОМЕЩ. 111
