Бесплатный сервис «Учительская»
Соберите тест из готовой базы заданий ЕГЭ. Ученики решат этот тест и вы увидите их ответы прямо на платформе
Собрать тест ЕГЭТест на тему применение производной для исследования функций
03 октября 2025 19:08
Ниже представлен тест по математике на тему: «Применение производной для исследования функций», для 11 класса. Тип вопросов — открытые. Количество вопросов: 10. Вывод теста с ответами — да.
Часть 1. Тест (10 открытых вопросов)
- Пусть f(x) = x^3 − 6x^2 + 9x + 1.
- Найдите производную f'(x).
- Найдите критические точки.
- Определите интервалы возрастания и убывания.
- Найдите локальные экстремумы и их значения.
- Укажите природу экстремумов с помощью второй производной.
- Пусть g(x) = e^x − x^2.
- Найдите интервалы возрастания и убывания (используйте знак производной).
- Найдите локальные экстремумы, если они есть.
- Найдите точку перегиба (инфлексии) функции, используя вторую производную.
- Пусть h(x) = ln x − x^2, x > 0.
- Найдите точки роста/падения (интервалы монотонности).
- Найдите локальный максимум и его значение.
- Исследуйте выпуклость (конвексность) и найдите, есть ли точки перегиба.
- Оптимизация площади прямоугольника с фиксированным периметром P = 40.
- Пусть одна сторона равна x, другая — 20 − x (0 < x < 20). Найдите размер стороны, обеспечивающий максимальную площадь.
- Найдите максимальную площадь прямоугольника и его размеры.
- Пусть f(x) = x^4 − 4x^3 + 5.
- Найдите все критические точки.
- Определите интервалы возрастания/убывания и локальные экстремумы.
- Укажите значения экстремумов (если нужно, вычислите f в точках экстремумов).
- При желании, найдите точки перегиба через вторую производную.
- Пусть f(x) = √x, domain x ≥ 0.
- Найдите производную и её знак (интервалы).
- Определите выпуклость функции (интервал выпуклости) и наличие точек перегиба.
- Пусть известно, что f'(x) = x^2 − 6x + 5.
- Определите интервалы возрастания и убывания функции f.
- Найдите локальные экстремумы и их виды.
- Пусть f(x) = x^4 − 4x^3.
- Найдите критические точки и интервалы монотонности.
- Найдите местный минимум (и значения функции в точке минимума).
- Найдите точки перегиба, если они есть (через вторую производную).
- Тangent-применение производной.
- Пусть f(x) = ln x и x0 = 1.
- Найдите касательную к графику в точке x0 и её уравнение.
- Используя касательную, оцените значение f(1.1) (приближённо).
- Практическая оптимизация прибыли.
- Пусть функция прибыли P(x) задана как P(x) = −x^2 + 60x − 200.
- Найдите x, при котором достигается максимальная прибыль, и её значение.
- Укажите, что это максимум (поясните через знак второй производной или знак вокруг точки).
Часть 2. Ответы и решения
- f(x) = x^3 − 6x^2 + 9x + 1
- f'(x) = 3x^2 − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3)
- Критические точки: x = 1 и x = 3
- intervals: f' > 0 на (−∞, 1) и (3, ∞); f' < 0 на (1, 3) => функция возрастает на (−∞, 1) и (3, ∞); убывает на (1, 3)
- Локальные экстремумы: локальный максимум при x = 1; локальный минимум при x = 3
- Значения: f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5; f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1
- Вторая производная: f''(x) = 6x − 12 • f''(1) = −6 < 0 ⇒ локальный максимум при x = 1 • f''(3) = 6 > 0 ⇒ локальный минимум при x = 3
- g(x) = e^x − x^2
- g'(x) = e^x − 2x
- Анализ g'(x): h(x) = e^x − 2x имеет уникальный минимум при h'(x) = e^x − 2 = 0 ⇒ x = ln 2; h(ln 2) = 2 − 2 ln 2 > 0 => g'(x) > 0 для всех x; g возрастает на всей области.
- Нет локальных экстремумов.
- Вторая производная: g''(x) = e^x − 2; инфлексия при x = ln 2, т.к. g'' меняет знак.
- Значение в точке перегиба: g(ln 2) = 2 − (ln 2)^2 ≈ 1.520
- h(x) = ln x − x^2, x > 0
- h'(x) = 1/x − 2x; h'(x) = 0 при x^2 = 1/2 ⇒ x = 1/√2
- Монотонность: на (0, 1/√2) возрастает; на (1/√2, ∞) убывает
- Локальный максимум в x = 1/√2; значение h(1/√2) = ln(1/√2) − 1/2 = −(1/2) ln 2 − 1/2
- Вторая производная: h''(x) = −1/x^2 − 2 < 0 для всех x > 0; функция строго вогнута (конкавна) вниз; точек перегиба нет
- Прямоугольник с периметром P = 40
- Пусть одна сторона x, другая 20 − x (0 < x < 20)
- Площадь A(x) = x(20 − x) = 20x − x^2
- A'(x) = 20 − 2x = 0 ⇒ x = 10
- A''(x) = −2 < 0 ⇒ максимум
- Максимальная площадь: A(10) = 10 · 10 = 100
- Размеры: 10 и 10 (квадрат)
- f(x) = x^4 − 4x^3 + 5
- f'(x) = 4x^3 − 12x^2 = 4x^2(x − 3)
- Критические точки: x = 0 (повторный корень) и x = 3
- Интервалы монотонности: на (−∞, 0) убывает; на (0, 3) убывает; на (3, ∞) возрастает
- В точке x = 3 локальный минимум (потому что производная меняет знак с минуса на плюс)
- Значение минимума: f(3) = 81 − 108 + 5 = −22
- Точка x = 0 не является экстремумом (производная не меняет знак)
- Вторая производная: f''(x) = 12x^2 − 24x = 12x(x − 2) • Инфлексии при x = 0 и x = 2 (проверка знаков вокруг)
- f(x) = √x, x ≥ 0
- f'(x) = 1/(2√x) > 0 для x > 0
- f''(x) = −1/(4 x^(3/2)) < 0 для x > 0
- Следовательно: функция возрастает на (0, ∞) и выпукла вниз (конкавна) на (0, ∞); точек перегиба в области определения нет
- f'(x) = x^2 − 6x + 5
- Корни: x = 1 и x = 5
- Монотонность: для x < 1 — f' > 0; для 1 < x < 5 — f' < 0; для x > 5 — f' > 0
- Значит: возрастает на (−∞, 1) и (5, ∞); убывает на (1, 5)
- Локальные экстремумы: максимум в x = 1; минимум в x = 5
- Значения f в этих точках зависят от заданной исходной функции f (вопрос только о местоположении экстремумов по производной)
- f(x) = x^4 − 4x^3
- f'(x) = 4x^3 − 12x^2 = 4x^2(x − 3)
- Критические точки: x = 0 и x = 3
- Монотонность: (-∞, 0) — убывает; (0, 3) — убывает; (3, ∞) — возрастает
- Локальный минимум в x = 3: f(3) = 81 − 108 = −27
- В точке x = 0 стационарная точка, но экстремума нет (нет смены знака)
- Вторая производная: f''(x) = 12x^2 − 24x = 12x(x − 2) • Инфлексии: x = 0 и x = 2 (проверка знаков слева/справа) • вокруг x = 0 знаки меняются: (-∞, 0): f'' > 0; (0, 2): f'' < 0 → точка перегиба в 0 • вокруг x = 2: (0, 2): f'' < 0; (2, ∞): f'' > 0 → точка перегиба в 2
- Т tangent-применение производной.
- Пусть f(x) = ln x, x0 = 1
- Значение в точке: f(1) = 0
- Производная в точке: f'(1) = 1/1 = 1
- Уравнение касательной: y − f(1) = f'(1)(x − 1) ⇒ y = x − 1
- Приближённая оценка f(1.1) по касательной: f(1.1) ≈ 1.1 − 1 = 0.1
- Точное значение: ln(1.1) ≈ 0.0953 (для сравнения)
- Практическая оптимизация прибыли.
- P(x) = −x^2 + 60x − 200
- P'(x) = −2x + 60
- Корень: x = 30
- P''(x) = −2 < 0 ⇒ это максимум
- Максимальная прибыль: P(30) = −900 + 1800 − 200 = 700
- Прибыль достигается при выпуске 30 единиц (при условии допустимого диапазона)
Если нужно, могу адаптировать вопросы под конкретный уровень или добавить дополнительные пояснения к каждому решению.
Популярные тесты
Какие утверждения верны о расположении Месопотамии? Выберите все верные варианты.
A) Она находилась в Передней Азии.
B) Её название связано с землями между реками Тигр и Евфрат.
C) Она располагалась в долине Нила.
D) Она находилась на островах Средиземного моря.Какие занятия были важны для жителей Древней Месопотамии? Выберите все верные варианты.
A) Выращивание зерновых культур с помощью орошения.
B) Разведение овец и коз.
C) Изготовление глиняной посуды и металлических изделий.
D) Выращивание чайных кустов на горных плантациях.Что было характерно для шумерских городов-государств? Выберите все верные варианты.
A) У каждого города был свой правитель.
B) У каждого города был главный храм, посвящённый богу-покровителю.
C) Все города с самого начала подчинялись одному постоянному правителю.
D) Города нередко соперничали и воевали друг с другом.Какие утверждения о клинописи верны? Выберите все верные варианты.
A) Знаки наносили на мягкую глину специальной палочкой.
B) Одними из первых клинопись стали использовать шумеры.
C) Первоначально с её помощью записывали хозяйственные и административные сведения.
D) Ею писали только на листах папируса.Какие утверждения о зиккуратах верны? Выберите все верные варианты.
A) Зиккурат имел вид ступенчатой башни с храмом наверху.
B) Зиккурат был связан с почитанием богов.
C) Зиккурат служил жилищем для всех жителей города.
D) Зиккураты строили для проведения конных состязаний.Почему жители Месопотамии строили оросительные каналы? Выберите все верные варианты.
A) Каналы подавали воду на поля в засушливое время.
B) Каналы помогали расширять площади земледелия.
C) Каналы полностью устраняли опасность наводнений.
D) Каналы использовали как подземные железные дороги.Какие утверждения относятся к Саргону Аккадскому? Выберите все верные варианты.
A) Он объединил под своей властью многие города Месопотамии.
B) Он создал крупное Аккадское государство.
C) Он был фараоном Древнего Египта.
D) Он правил в одно время с царём Хаммурапи.Какие утверждения относятся к царю Хаммурапи? Выберите все верные варианты.
A) Хаммурапи был царём Вавилона.
B) С его именем связан сборник законов.
C) Законы Хаммурапи были записаны клинописью на каменной стеле.
D) Хаммурапи жил в XX веке нашей эры.Какие города были важными центрами Древней Месопотамии? Выберите все верные варианты.
A) Ур.
B) Урук.
C) Вавилон.
D) Спарта.Какие достижения связывают с цивилизациями Древней Месопотамии? Выберите все верные варианты.
A) Создание клинописи.
B) Использование колеса.
C) Строительство зиккуратов.
D) Изобретение пороха.
Ниже представлен тест по английскому языку. Тема: Времена группы Present. Класс: десятый. Тип вопросов: множественный выбор. Количество вопросов: 20. Выводить тест без ответов.
She ____ to the gym every day. A) go B) goes C) going D) is going
Right now, the kids ____ TV in the living room. A) watch B) watches C) are watching D) watching
They ____ to Canada twice this year. A) go B) goes C) have gone D) are going
She ____ hard all week and needs a break. A) has worked B) has been working C) is working D) works
My brother ____ coffee in the morning. A) drinks B) is drinking C) has drunk D) has been drinking
Look! The baby ____ in the kitchen. A) sleeps B) is sleeping C) slept D) has slept
He ____ here since 2010. A) lived B) is living C) has lived D) living
I ____ English for two years. A) learn B) have learned C) have been learning D) am learning
They ____ breakfast at 7 a.m. A) have B) has C) having D) is having
He ____ in a band. A) plays B) is playing C) playing D) played
I ____ my homework yet. A) haven't finished B) haven't finishing C) didn't finish D) have finished
She ____ Paris twice this year. A) visits B) has visited C) visited D) will visit
He ____ a book at the moment. A) reads B) is reading C) read D) has read
We ____ here for two hours. A) are waiting B) have waited C) have been waiting D) waited
They ____ not know the answers. A) don't know B) doesn't know C) aren't know D) not know
She ____ English at the moment. A) studies B) is studying C) studied D) has studied
How long have you been working here? A) do you work B) have you worked C) have you been working D) are you working
He ____ football since he was a teenager. A) plays B) has played C) has been playing D) played
The Earth ____ around the Sun. A) orbits B) is orbiting C) has orbited D) will orbit
They ____ to the new cinema recently. A) go B) have gone C) going D) goes
Тест по русскому языку для 6 класса: Мягкий знак на конце и середине числительных
Вопросы
Напишите числительное, в котором мягкий знак стоит на конце.
- Ответ: (Пример: "пять")
Приведите пример числительного, в котором мягкий знак находится в середине.
- Ответ: (Пример: "двадцать")
Напишите числительное от 1 до 20, в котором мягкий знак стоит на конце.
- Ответ: (Пример: "двенадцать")
Какое из чисел 60, 70, 80, 90 содержит мягкий знак в своей форме? Объясните, почему вы выбрали именно это число.
- Ответ: (Пример: "80, потому что правильно говорить 'восемьдесят', где мягкий знак стоит перед окончанием")
Напишите предложение, в котором использованы два числительных, одно из которых содержит мягкий знак.
- Ответ: (Пример: "На столе стояли пять яблок и три груши.")
Ответы для учителей
- Числительное, заканчивающееся на мягкий знак: "пять".
- Пример числительного с мягким знаком в середине: "двадцать".
- Числительное от 1 до 20 с мягким знаком на конце: "двенадцать".
- Число с мягким знаком: "80 (восемьдесят)".
- Пример предложения: "На столе стояли пять яблок и три груши."
Тест может быть использован для оценки знаний учеников по теме мягкого знака в числительных.
Тест по английскому языку для учеников 7 класса
Тема: Используй слова: cashier, manager, shop assistant, security guard, cleaner, чтобы составить предложение.
Тип вопросов: Соотнесение
Количество вопросов: 5
Вопрос 1: Соедините слова с правильными определениями:
- Cashier
- Manager
- Shop assistant
- Security guard
- Cleaner
Определения: A. Person responsible for handling money transactions. B. Person in charge of overseeing operations. C. Employee who helps customers in a store. D. Individual responsible for protecting property and people. E. Person who maintains cleanliness.
Ответ: 1 - A, 2 - B, 3 - C, 4 - D, 5 - E
Вопрос 2: Составьте предложение, используя слова из списка:
Ответ: Пример: The shop assistant helped the customer choose the right size.
Вопрос 3: Составьте предложение, используя слова из списка:
Ответ: Пример: The manager is responsible for making important decisions.
Вопрос 4: Составьте предложение, используя слова из списка:
Ответ: Пример: The security guard patrols the building at night.
Вопрос 5: Составьте предложение, используя слова из списка:
Ответ: Пример: The cashier processed the payment quickly.
Ответы:
- Cashier - A
- Manager - B
- Shop assistant - C
- Security guard - D
- Cleaner - E
Надеюсь, что этот тест поможет вам подготовиться к урокам английского языка! Удачи на экзамене!
ОБЩЕСТВО С ОГРАНИЧЕННОЙ ОТВЕТСТВЕННОСТЬЮ «НОВАЯ
ШКОЛА»
420500, РЕСПУБЛИКА ТАТАРСТАН, М.Р-Н ВЕРХНЕУСЛОНСКИЙ, Г.П. ГОРОД ИННОПОЛИС, Г ИННОПОЛИС, УЛ УНИВЕРСИТЕТСКАЯ, Д. 5, ЭТАЖ 1, ПОМЕЩ. 111
