Подготовим к ЕГЭ за оставшееся времяна нужные баллы.
Пробный период бесплатно
Бесплатный сервис «Учительская»
Соберите тест из готовой базы заданий ЕГЭ. Ученики решат этот тест и вы увидите их ответы прямо на платформе
Собрать тест ЕГЭТест на тему применение производной для исследования функций
03 октября 2025 19:08
Ниже представлен тест по математике на тему: «Применение производной для исследования функций», для 11 класса. Тип вопросов — открытые. Количество вопросов: 10. Вывод теста с ответами — да.
Часть 1. Тест (10 открытых вопросов)
- Пусть f(x) = x^3 − 6x^2 + 9x + 1.
- Найдите производную f'(x).
- Найдите критические точки.
- Определите интервалы возрастания и убывания.
- Найдите локальные экстремумы и их значения.
- Укажите природу экстремумов с помощью второй производной.
- Пусть g(x) = e^x − x^2.
- Найдите интервалы возрастания и убывания (используйте знак производной).
- Найдите локальные экстремумы, если они есть.
- Найдите точку перегиба (инфлексии) функции, используя вторую производную.
- Пусть h(x) = ln x − x^2, x > 0.
- Найдите точки роста/падения (интервалы монотонности).
- Найдите локальный максимум и его значение.
- Исследуйте выпуклость (конвексность) и найдите, есть ли точки перегиба.
- Оптимизация площади прямоугольника с фиксированным периметром P = 40.
- Пусть одна сторона равна x, другая — 20 − x (0 < x < 20). Найдите размер стороны, обеспечивающий максимальную площадь.
- Найдите максимальную площадь прямоугольника и его размеры.
- Пусть f(x) = x^4 − 4x^3 + 5.
- Найдите все критические точки.
- Определите интервалы возрастания/убывания и локальные экстремумы.
- Укажите значения экстремумов (если нужно, вычислите f в точках экстремумов).
- При желании, найдите точки перегиба через вторую производную.
- Пусть f(x) = √x, domain x ≥ 0.
- Найдите производную и её знак (интервалы).
- Определите выпуклость функции (интервал выпуклости) и наличие точек перегиба.
- Пусть известно, что f'(x) = x^2 − 6x + 5.
- Определите интервалы возрастания и убывания функции f.
- Найдите локальные экстремумы и их виды.
- Пусть f(x) = x^4 − 4x^3.
- Найдите критические точки и интервалы монотонности.
- Найдите местный минимум (и значения функции в точке минимума).
- Найдите точки перегиба, если они есть (через вторую производную).
- Тangent-применение производной.
- Пусть f(x) = ln x и x0 = 1.
- Найдите касательную к графику в точке x0 и её уравнение.
- Используя касательную, оцените значение f(1.1) (приближённо).
- Практическая оптимизация прибыли.
- Пусть функция прибыли P(x) задана как P(x) = −x^2 + 60x − 200.
- Найдите x, при котором достигается максимальная прибыль, и её значение.
- Укажите, что это максимум (поясните через знак второй производной или знак вокруг точки).
Часть 2. Ответы и решения
- f(x) = x^3 − 6x^2 + 9x + 1
- f'(x) = 3x^2 − 12x + 9 = 3(x − 1)(x − 3)
- Критические точки: x = 1 и x = 3
- intervals: f' > 0 на (−∞, 1) и (3, ∞); f' < 0 на (1, 3) => функция возрастает на (−∞, 1) и (3, ∞); убывает на (1, 3)
- Локальные экстремумы: локальный максимум при x = 1; локальный минимум при x = 3
- Значения: f(1) = 1 − 6 + 9 + 1 = 5; f(3) = 27 − 54 + 27 + 1 = 1
- Вторая производная: f''(x) = 6x − 12 • f''(1) = −6 < 0 ⇒ локальный максимум при x = 1 • f''(3) = 6 > 0 ⇒ локальный минимум при x = 3
- g(x) = e^x − x^2
- g'(x) = e^x − 2x
- Анализ g'(x): h(x) = e^x − 2x имеет уникальный минимум при h'(x) = e^x − 2 = 0 ⇒ x = ln 2; h(ln 2) = 2 − 2 ln 2 > 0 => g'(x) > 0 для всех x; g возрастает на всей области.
- Нет локальных экстремумов.
- Вторая производная: g''(x) = e^x − 2; инфлексия при x = ln 2, т.к. g'' меняет знак.
- Значение в точке перегиба: g(ln 2) = 2 − (ln 2)^2 ≈ 1.520
- h(x) = ln x − x^2, x > 0
- h'(x) = 1/x − 2x; h'(x) = 0 при x^2 = 1/2 ⇒ x = 1/√2
- Монотонность: на (0, 1/√2) возрастает; на (1/√2, ∞) убывает
- Локальный максимум в x = 1/√2; значение h(1/√2) = ln(1/√2) − 1/2 = −(1/2) ln 2 − 1/2
- Вторая производная: h''(x) = −1/x^2 − 2 < 0 для всех x > 0; функция строго вогнута (конкавна) вниз; точек перегиба нет
- Прямоугольник с периметром P = 40
- Пусть одна сторона x, другая 20 − x (0 < x < 20)
- Площадь A(x) = x(20 − x) = 20x − x^2
- A'(x) = 20 − 2x = 0 ⇒ x = 10
- A''(x) = −2 < 0 ⇒ максимум
- Максимальная площадь: A(10) = 10 · 10 = 100
- Размеры: 10 и 10 (квадрат)
- f(x) = x^4 − 4x^3 + 5
- f'(x) = 4x^3 − 12x^2 = 4x^2(x − 3)
- Критические точки: x = 0 (повторный корень) и x = 3
- Интервалы монотонности: на (−∞, 0) убывает; на (0, 3) убывает; на (3, ∞) возрастает
- В точке x = 3 локальный минимум (потому что производная меняет знак с минуса на плюс)
- Значение минимума: f(3) = 81 − 108 + 5 = −22
- Точка x = 0 не является экстремумом (производная не меняет знак)
- Вторая производная: f''(x) = 12x^2 − 24x = 12x(x − 2) • Инфлексии при x = 0 и x = 2 (проверка знаков вокруг)
- f(x) = √x, x ≥ 0
- f'(x) = 1/(2√x) > 0 для x > 0
- f''(x) = −1/(4 x^(3/2)) < 0 для x > 0
- Следовательно: функция возрастает на (0, ∞) и выпукла вниз (конкавна) на (0, ∞); точек перегиба в области определения нет
- f'(x) = x^2 − 6x + 5
- Корни: x = 1 и x = 5
- Монотонность: для x < 1 — f' > 0; для 1 < x < 5 — f' < 0; для x > 5 — f' > 0
- Значит: возрастает на (−∞, 1) и (5, ∞); убывает на (1, 5)
- Локальные экстремумы: максимум в x = 1; минимум в x = 5
- Значения f в этих точках зависят от заданной исходной функции f (вопрос только о местоположении экстремумов по производной)
- f(x) = x^4 − 4x^3
- f'(x) = 4x^3 − 12x^2 = 4x^2(x − 3)
- Критические точки: x = 0 и x = 3
- Монотонность: (-∞, 0) — убывает; (0, 3) — убывает; (3, ∞) — возрастает
- Локальный минимум в x = 3: f(3) = 81 − 108 = −27
- В точке x = 0 стационарная точка, но экстремума нет (нет смены знака)
- Вторая производная: f''(x) = 12x^2 − 24x = 12x(x − 2) • Инфлексии: x = 0 и x = 2 (проверка знаков слева/справа) • вокруг x = 0 знаки меняются: (-∞, 0): f'' > 0; (0, 2): f'' < 0 → точка перегиба в 0 • вокруг x = 2: (0, 2): f'' < 0; (2, ∞): f'' > 0 → точка перегиба в 2
- Т tangent-применение производной.
- Пусть f(x) = ln x, x0 = 1
- Значение в точке: f(1) = 0
- Производная в точке: f'(1) = 1/1 = 1
- Уравнение касательной: y − f(1) = f'(1)(x − 1) ⇒ y = x − 1
- Приближённая оценка f(1.1) по касательной: f(1.1) ≈ 1.1 − 1 = 0.1
- Точное значение: ln(1.1) ≈ 0.0953 (для сравнения)
- Практическая оптимизация прибыли.
- P(x) = −x^2 + 60x − 200
- P'(x) = −2x + 60
- Корень: x = 30
- P''(x) = −2 < 0 ⇒ это максимум
- Максимальная прибыль: P(30) = −900 + 1800 − 200 = 700
- Прибыль достигается при выпуске 30 единиц (при условии допустимого диапазона)
Если нужно, могу адаптировать вопросы под конкретный уровень или добавить дополнительные пояснения к каждому решению.
Популярные тесты
Тест по информатике Тема: Программное обеспечение компьютера Класс: 7 Тип вопросов: Единственный выбор Количество вопросов: 10 Ответы: да
Что относится к системному программному обеспечению? A) игра B) операционная система и утилиты C) текстовый редактор D) браузер Правильный ответ: B
Что относится к прикладному программному обеспечению? A) драйвер принтера B) операционная система C) программа для обработки текста D) утилита для очистки реестра Правильный ответ: C
Что делает драйвер устройства? A) управляет питанием ПК B) обеспечивает связь устройства с ОС C) ускоряет процессор D) переводит текст в звук Правильный ответ: B
Что такое обновление программного обеспечения? A) новая версия программы с исправлениями и улучшениями B) временная скидка на ПО C) удаление программы D) установка вируса Правильный ответ: A
Какие существуют типы лицензий на ПО? A) Только бесплатное ПО B) freeware, shareware, open source C) Только платное ПО D) Лицензия на каждый файл Правильный ответ: B
Что такое файловая система? A) список файлов в каталоге B) способ организации хранения данных на носителе C) программа для редактирования текста D) коллекция иконок Правильный ответ: B
Что такое утилиты в составе ПО? A) игры B) небольшие программы-помощники для обслуживания системы C) браузеры D) текстовые процессоры Правильный ответ: B
Интерфейс пользователя — это... A) внешний вид и способ взаимодействия человека с компьютером в ОС и программах B) набор команд процессора C) подключение монитора к системному блоку D) язык программирования Правильный ответ: A
Что происходит при обновлении драйвера устройства? A) обновляется сама ОС B) устанавливается более новая версия драйвера C) удаляется драйвер D) программист переустанавливает ОС Правильный ответ: B
Какое преимущество использования готового программного обеспечения? A) не нужно писать код с нуля и можно сразу решать задачи B) гарантированно без ошибок C) требует знания программирования D) всегда бесплатно Правильный ответ: A
Ниже тест по Английскому языку. Тест состоит из 10 вопросов с одним правильным вариантом ответа. Ответы не приводятся.
Инструкция: выберите один правильный ответ для каждого вопроса.
My brother ____ TV every evening. A) watch B) watches C) watching D) watched
There ____ many apples in the basket. A) is B) are C) am D) were
We ___ in a big city. A) is B) are C) am D) were
I have ___ apple. A) a B) an C) the D) без артикля
There are five ___ in the box. A) boxs B) boxes C) boxies D) box
What is the question form of "She can swim"? A) She can swim? B) Can she swim? C) She swim can? D) Does she swim?
They ___ to the park yesterday. A) go B) went C) goes D) going
Look! The kids ___ TV. A) watch B) watches C) are watching D) watched
This pencil is ___. A) mine B) my C) me D) I
The book is ___ the table. A) on B) in C) under D) above
Тест по английскому языку на тему "Future Simple" (11 класс)
Тест: Future Simple
Вопрос 1: Which sentence is in the Future Simple tense?
A) I am studying now.
B) I will study tomorrow.
C) I studied yesterday.
D) I study every day.
Вопрос 2: How do you form the negative in Future Simple?
A) will not
B) do not
C) did not
D) am not
Вопрос 3: Choose the correct sentence:
A) She will go to the party last night.
B) She will goes to the party.
C) She will go to the party.
D) She going to the party.
Вопрос 4: What is the correct question form in the Future Simple?
A) Do you will come to the meeting?
B) Will you come to the meeting?
C) Are you coming to the meeting?
D) You will come to the meeting?
Вопрос 5: Choose the sentence that expresses a future prediction:
A) It rains every day.
B) It is raining now.
C) It will rain tomorrow.
D) It rained yesterday.
Вопрос 6: Which of the following is NOT a correct form of Future Simple?
A) I will eat.
B) He won't finish.
C) They will goes.
D) We will help.
Вопрос 7: Complete the sentence: "They ________ (visit) us next week."
A) visits
B) are visit
C) will visit
D) visit
Вопрос 8: Choose the correct response: "What will you do tomorrow?"
A) I did my homework.
B) I will do my homework.
C) I am do my homework.
D) I do my homework.
Вопрос 9: Which of the following sentences is correct?
A) She will not went to the store.
B) She will not go to the store.
C) She not will go to the store.
D) She did not go to the store.
Вопрос 10: Select the future form in the sentence: "He promised he ________ (call) us."
A) will call
B) calling
C) calls
D) did call
Вопрос 11: Choose the correct completion for the sentence: "I think it ________ (rain) later."
A) will rains
B) will rain
C) rain
D) is raining
Вопрос 12: Which of the following expresses a plan?
A) I will eat dinner.
B) I’m going to eat dinner.
C) I eat dinner at 6 PM.
D) I eaten dinner.
Вопрос 13: Fill in the blank: "We ________ (finish) the project by Friday."
A) will finish
B) finish
C) finished
D) finishes
Вопрос 14: Choose the correct sentence:
A) I will not forget your birthday.
B) I forget not your birthday.
C) I not will forget your birthday.
D) I doesn't forget your birthday.
Вопрос 15: What does "will" express in this sentence: "I will help you"?
A) Past action
B) Future action
C) Present action
D) Conditional action
Удачи на тесте!
Тест по физике для 11 класса на тему "Границы применимости классической механики. Постулаты специальной теории относительности"
Вопросы
Какое из следующих утверждений является основным постулатом специальной теории относительности?
- A) Законы физики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета.
- B) Свет распространяется с бесконечной скоростью.
- C) Время идет по-разному в разных системах отсчета.
- D) Масса тела постоянна и не зависит от его скорости.
Правильный ответ: A
При каких значениях скорости классическая механика перестает быть точной?
- A) При скорости, близкой к скорости света.
- B) При скорости, ниже скорости звука.
- C) При скорости, превышающей 20 м/с.
- D) При любой скорости.
Правильный ответ: A
Какое явление возникает при движении с релятивистскими скоростями?
- A) Увеличение массы.
- B) Изменение направления силы.
- C) Уменьшение скорости света.
- D) Изменение зарядов.
Правильный ответ: A
Какой из следующих эффектов не является следствием специальной теории относительности?
- A) Ускорение времени.
- B) Эффект доплеровского смещения.
- C) Увеличение длины.
- D) Парадокс близнецов.
Правильный ответ: C
Какое значение имеет скорость света в вакууме по отношению к другим объектам?
- A) Она меньше скорости всех объектов.
- B) Она больше скорости всех объектов.
- C) Она равна скорости всех объектов.
- D) Она является предельной скоростью, которую не может достигнуть ни одно тело.
Правильный ответ: D
Какое из приведенных утверждений относится к релятивистской массе?
- A) Она уменьшается с увеличением скорости.
- B) Она увеличивается с увеличением скорости.
- C) Она остается постоянной вне зависимости от скорости.
- D) Масса не имеет отношения к скорости.
Правильный ответ: B
Длина движущегося объекта относительно наблюдателя:
- A) Увеличивается.
- B) Уменьшается.
- C) Остается неизменной.
- D) Меняется только в зависимости от массы объекта.
Правильный ответ: B
Эффект замедления времени чаще всего называют:
- A) Парадоксом Ньютон.
- B) Парадоксом близнецов.
- C) Релятивистским замедлением.
- D) Квантовым эффектом.
Правильный ответ: C
Согласно специальной теории относительности, понятие времени:
- A) Абсолютно и одинаково для всех наблюдателей.
- B) Заводится каждым наблюдателем независимо.
- C) Зависит от скорости движения наблюдателя.
- D) Зависит только от гравитационного влияния.
Правильный ответ: C
Какое из нижеперечисленных утверждений о релятивистской системе отсчета верно?
- A) Все физические законы применимы только в инерциальных системах.
- B) В релятивистских системах скорость света может превышаться.
- C) Релятивистские эффекты не существуют в повседневной жизни.
- D) Объекты не испытывают изменение массы с увеличением скорости.
Правильный ответ: A
Этот тест позволит оценить знания школьников по теме "Границы применимости классической механики и постулаты специальной теории относительности".
ОБЩЕСТВО С ОГРАНИЧЕННОЙ ОТВЕТСТВЕННОСТЬЮ «НОВАЯ
ШКОЛА»
420500, РЕСПУБЛИКА ТАТАРСТАН, М.Р-Н ВЕРХНЕУСЛОНСКИЙ, Г.П. ГОРОД ИННОПОЛИС, Г ИННОПОЛИС, УЛ УНИВЕРСИТЕТСКАЯ, Д. 5, ЭТАЖ 1, ПОМЕЩ. 111
