Новая школа

Ниже представлен тест по геометрии для 7 класса. Тип вопросов: открытые. Тема: медиана, биссектриса, высота в треугольнике, нахождение сторон, углы и концепции, связанные с центром тяжести (центр масс). Всего 10 вопросов. В конце — ключ к ответам.

Название теста: Геометрия. Медиана, биссектриса, высота, нахождение сторон, углы центра тяжести (центр масс). 7 класс. Общее количество вопросов: 10. Формат: открытые вопросы. Вывод ответов: да.

Вопросы теста

В треугольнике ABC сторона BC имеет длину a = 6 см, стороны AB = c = 5 см, AC = b = 7 см. Медиана AD опущена к BC (D — середина BC). Найдите длину медианы AD.
В треугольнике ABC стороны AB = 5 см, AC = 7 см, BC = 6 см. Отличите длину биссектрисы от угла A к стороне BC. Найдите длину биссектрисы AL, где L лежит на BC.
В треугольнике ABC основание BC = 8 см. Площадь треугольника дана как S = 28 см². Найдите высоту AH, опущенную на BC.
В треугольнике ABC две стороны известны: AB = 5 см, AC = 7 см, угол между ними ∠BAC = 60°. Найдите длину стороны BC.
В треугольнике ABC с BC = 6 см, AB = 5 см, AC = 7 см проведены две медианы AD и BE (D — середина BC, E — середина AC). Найдите угол ∠DGB, где G — точка пересечения медиан (центр масс). Дайте ответ в градусах (приближённо) и точно через косинус:cos ∠DGB = ?
В треугольнике ABC AB = AC и угол A = 40°. Найдите углы B и C.
В равнобедренном треугольнике ABC с AB = AC = 5 см, основание BC = 8 см. Найдите длину медианы AD, опущенной на BC.
Объясните, почему медианы треугольника пересекаются в одной точке G и почему разделяют треугольник на шесть小 треугольников равной площади. (Кратко привести основные рассуждения.)
Найдите площадь треугольника со сторонами a = 5 см, b = 6 см, c = 7 см. Осуществите по формуле Герона.
В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом в A. Пусть AB = 3 см, AC = 4 см. Найдите гипотенузу BC и высоту AH, опущенную на гипотенузу BC.

Ключ к ответам (учебный разбор)

Медиана AD к BC: m_a = 0.5 * sqrt(2b^2 + 2c^2 − a^2) = 0.5 * sqrt(27^2 + 25^2 − 6^2) = 0.5 * sqrt(98 + 50 − 36) = 0.5 * sqrt(112) = 0.5 * 4sqrt(7) = 2sqrt(7) ≈ 5.29 см.
Длину биссектрисы по формуле l_a^2 = bc [1 − a^2/(b+c)^2], где a = BC = 6, b = CA = 7, c = AB = 5: l_a^2 = 7*5 [1 − 6^2 /(7+5)^2] = 35 [1 − 36/144] = 35 * 0.75 = 105/4. l_a = sqrt(105)/2 ≈ 5.12 см.
Площадь S = 28 = 0.5 * BC * AH → AH = 2S / BC = 56 / 8 = 7 см.
BC^2 = AB^2 + AC^2 − 2·AB·AC·cos∠A = 5^2 + 7^2 − 2·5·7·cos 60° = 25 + 49 − 70·0.5 = 74 − 35 = 39. BC = sqrt(39) ≈ 6.245 см.
Угол между медианами AD и BE в треугольнике с BC = 6, AB = 5, AC = 7: Вычисления через координаты дают cos∠DGB = −5 / √511. ∠DGB ≈ arccos(−5/√511) ≈ 102.8°.
Так как AB = AC, треугольник равнобедренный, углы при основаниях равны: ∠B = ∠C = (180° − ∠A)/2 = (180° − 40°)/2 = 70°.
Медиана к основанию в равнобедренном треугольнике: m_a = 0.5 * sqrt(2b^2 + 2c^2 − a^2) = 0.5 * sqrt(25^2 + 25^2 − 8^2) = 0.5 * sqrt(50 + 50 − 64) = 0.5 * sqrt(36) = 0.5 * 6 = 3 см.
Утверждения:

Медианы делят треугольник на 6 маленьких треугольников одинаковой площади.
Центр масс (пересечение медиан) делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины к стороне основания.
Следовательно, площадь каждого маленького треугольника равна общей площади треугольника, деленной на 6.

Площадь по формуле Герона: s = (5 + 6 + 7)/2 = 9. S = sqrt( s (s − a) (s − b) (s − c) ) = sqrt(9 · 4 · 3 · 2) = sqrt(216) = 6√6 ≈ 14.70 см².
Гипотенуза прямоугольника: BC = sqrt(AB^2 + AC^2) = sqrt(3^2 + 4^2) = 5 см. Высота к гипотенузе: h = (AB · AC) / BC = (3 · 4) / 5 = 12/5 = 2.4 см.

Примечания

В некоторых заданиях использованы стандартные формулы: медиана m_a, биссектриса l_a, высота через площадь, теорема Пифагора, формула Герона.
Вопрос 5 демонстрирует вычисление угла между двумя медианами (одна из возможных интерпретаций темы «углы… центра тяжести (центр масс)»). Если вы хотите трактовать термин иначе (например, углы между медианами в другом виде или в другой конфигурации), можно заменить задачу 5 на альтернативную.

Если нужно — могу адаптировать тест под конкретные требования вашего курса (уровень сложности, формулировки, диапазон ответов и т. п.).

Вот тест для школьников на тему «Хорезм шах Мухаммад Алауддин и Джалалиддин Мангуберди» для 8 класса. В тесте 20 вопросов с множественным выбором, и под каждым вопросом указаны правильные ответы.

Тест по истории Узбекистана: Хорезм шах Мухаммад Алауддин и Джалалиддин Мангуберди

Вопрос 1:

Кто был Хорезм шахом в конце 12 – начале 13 века? A) Джалалиддин Мангуберди
B) Мухаммад Алауддин
C) Тимур
D) Улугбек

Ответ: B) Мухаммад Алауддин

Вопрос 2:

Какое событие привело к конфликту между Хорезмшахом и Чингисханом? A) Образование нового государства
B) Торговая война
C) Нападение на караван
D) Хорезм шах отказался заключить союз

Ответ: C) Нападение на караван

Вопрос 3:

Какое значение имеют титулы «Хорезм шах»? A) Правитель Хорезма
B) Военный лидер
C) Религиозный наставник
D) Торговец

Ответ: A) Правитель Хорезма

Вопрос 4:

Что произошло с Хорезмом после смерти Мухаммада Алауддина? A) Хорезм стал частью Китайской империи
B) Хорезм утратил независимость и был завоеван
C) Хорезм объединился с Персией
D) Хорезм получил новые земли

Ответ: B) Хорезм утратил независимость и был завоеван

Вопрос 5:

Кто был сыном Мухаммада Алауддина и продолжал его дело? A) Шахрух
B) Джалалиддин Мангуберди
C) Ихтидар
D) Абу Бакр

Ответ: B) Джалалиддин Мангуберди

Вопрос 6:

В каком году произошло нашествие Чингисхана на Хорезм? A) 1206
B) 1219
C) 1227
D) 1235

Ответ: B) 1219

Вопрос 7:

Какое мировое событие в 12-13 веках связано с Чингисханом и его завоеваниями? A) Крестовые походы
B) Монгольское нашествие
C) Славянские войны
D) Реконкиста

Ответ: B) Монгольское нашествие

Вопрос 8:

Какую тактику использовал Джалалиддин Мангуберди в борьбе против монголов? A) Договоры с врагами
B) Пассивная оборона
C) Р Guerrilla warfare
D) Прямое сражение

Ответ: C) Guerrilla warfare

Вопрос 9:

Какова основная причина падения Хорезм за время правления Алауддина? A) Экономический спад
B) Политические интриги
C) Внешние войны
D) Внутренние конфликты

Ответ: C) Внешние войны

Вопрос 10:

Кем был Джалалиддин Мангуберди? A) Полководцем Хорезмского государства
B) Монгольским ханом
C) Правителем Персии
D) Научным работником

Ответ: A) Полководцем Хорезмского государства

Вопрос 11:

Каково было влияние Хорезм шаха на развитие культуры и науки в регионе? A) Никакого влияния
B) Сильно отрицательное влияние
C) Значительное положительное влияние
D) Влияние ограничивалось только военной сферой

Ответ: C) Значительное положительное влияние

Вопрос 12:

Каковы основные военные достижения Джалалиддина Мангуберди? A) Захват всех земель Хорезма
B) Успешное сопротивление монголам
C) Создание армии из наемников
D) Построение крепостей

Ответ: B) Успешное сопротивление монголам

Вопрос 13:

Какое из произведений связано с борьбой Хорезм шаха и монголов? A) «Шахнаме»
B) «Авеста»
C) «Кабуснаме»
D) «Тарих-и Буда»

Ответ: A) «Шахнаме»

Вопрос 14:

Какую роль играла религия в политике Хорезм шаха? A) Полностью игнорировалась
B) Была основой для легитимации власти
C) Была использована для завоевания территорий
D) Не имела значения

Ответ: B) Была основой для легитимации власти

Вопрос 15:

Какие территории входили в состав Хорезмского государства? A) только Хорезм
B) Современный Узбекистан
C) Казахстан и часть Ирана
D) Современная Туркмения и Кыргызстан

Ответ: C) Казахстан и часть Ирана

Вопрос 16:

Какое событие произошло в 1221 году? A) Поражение монголов
B) Падение Хорезма
C) Убийство Мухаммада Алауддина
D) Захват Самарканда

Ответ: B) Падение Хорезма

Вопрос 17:

Какой подход использовал Джалалиддин, чтобы восстановить Хорезм после нападения монголов? A) Открытие новых торговых путей
B) Укрепление дипломатических отношений
C) Упрощение налоговой системы
D) Объединение с соседние державами

Ответ: B) Укрепление дипломатических отношений

Вопрос 18:

Кто был ближайшим соперником Мухаммада Алауддина во время его правления? A) Чингисхан
B) Рустам
C) Ядгар
D) Керим

Ответ: A) Чингисхан

Вопрос 19:

Каково было Наследие Хорезм шаха? A) Падение региона
B) Высокий уровень культуры и науки
C) Разрушение системы управления
D) Устойчивое внешнее влияние

Ответ: B) Высокий уровень культуры и науки

Вопрос 20:

Какой из следующих факторов способствовал расцвету Хорезмского государства в 12 веке? A) Интеграция в международные торговые сети
B) Упадок соседних держав
C) Военные завоевания
D) Решение внутренних конфликтов

Ответ: A) Интеграция в международные торговые сети

Надеюсь, этот тест будет полезен для подготовки ваших учеников!

Бесплатный сервис «Учительская»

Тест на тему медиана, биссектриса, высота в треугольнике, нахождение сторон, углов средней тяжести 7 класс

Популярные тесты