Бесплатный сервис «Учительская»
Соберите тест из готовой базы заданий ЕГЭ. Ученики решат этот тест и вы увидите их ответы прямо на платформе
Собрать тест ЕГЭТест на тему Свойства логарифмов
19 ноября 2025 08:44
Ниже представлен тест по теме: Свойства логарифмов. Предмет: Алгебра, класс 11, Тип вопросов: открытые. Всюду учитываются общие ограничения: основания логарифмов b>0, b≠1; аргументы логарифмов>0.
- Упростите выражение: log_b( x^4 / y^2 ), при x>0, y>0, b>0, b≠1.
- Вычислите log_4 32. Поясните ход рассуждения.
- Докажите свойство log_b(x^k) = k log_b x для натурального k. (Укажите кратко доказательство.)
- Определите область определения выражения log_b(x^2 - 3x + 2).
- Выразите log_b(xy) через log_b x и log_b y.
- Решите уравнение log_10(x^2 - x) = 2. Найдите все действительные решения x, которые удовлетворяют области определения.
- Выразите log_3 7 через логарифм по основанию 10. Приведите численный пример вычисления.
- Докажите/inferируйте инъективность логарифма: если log_b x = log_b y, то x = y при допустимых x>0, y>0 и b>0, b≠1. Обоснуйте.
- Упростите выражение: log_b((xy)^p) и выразите его через log_b x и log_b y, где p ∈ R, x>0, y>0.
- Найдите значение log_b( (b^3) / sqrt(b) ) = log_b(b^{3 - 1/2}).
Ответы
log_b( x^4 / y^2 ) = log_b(x^4) - log_b(y^2) = 4 log_b x - 2 log_b y.
log_4 32 = (log_2 32) / (log_2 4) = 5 / 2 = 2.5.
Доказательство: пусть y = log_b x, тогда b^y = x. Тогда log_b(x^k) = log_b((b^y)^k) = log_b(b^{ky}) = ky = k log_b x. Следовательно log_b(x^k) = k log_b x.
Область определения: x^2 - 3x + 2 > 0. Раскладывается на (x-1)(x-2). Поэтому решение неравенства: x < 1 или x > 2.
log_b(xy) = log_b x + log_b y.
Пусть log_10(x^2 - x) = 2. Значит x^2 - x = 100. Получаем квадратное уравнение x^2 - x - 100 = 0, корни x = [1 ± sqrt(1 + 400)]/2 = [1 ± sqrt(401)]/2. Оба корня удовлетворяют условию области (a) x^2 - x > 0, поэтому оба решения допустимы: x = (1 + sqrt(401))/2 и x = (1 - sqrt(401))/2.
log_3 7 = (log_10 7) / (log_10 3) ≈ 0.8450980 / 0.4771213 ≈ 1.771. Значение примерно 1.771.
Пусть log_b x = log_b y. Так как экспонента b^t — строго монотонна для любого b>0, b≠1, логарифм инъективен, следовательно x = y. Формально: если log_b x = log_b y, то b^{log_b x} = b^{log_b y} → x = y.
log_b((xy)^p) = p log_b(xy) = p[log_b x + log_b y] = p log_b x + p log_b y.
log_b( (b^3) / sqrt(b) ) = log_b(b^{3 - 1/2}) = log_b(b^{5/2}) = 5/2.
Популярные тесты
Ниже представлен тест из 15 вопросов по теме «Административно-правовые отношения: понятие, основные черты и виды. Механизм административно-правового регулирования» для 11 класса. Тип вопросов: единственный правильный ответ. Каждый вопрос сопровождается правильным вариантом.
- Что такое административно-правовые отношения?
- A) отношения между гражданами по гражданскому праву
- B) отношения между государственными органами и гражданами (или организациями) в сфере государственного управления, урегулированные нормами административного права
- C) отношения между государственными и муниципальными органами
- D) отношения между судами и сторонами по уголовному делу
- Правильный ответ: B
- Каковы основные признаки административно-правовых отношений?
- A) участники — государственные органы, должностные лица, граждане и организации; объект — общественные отношения в сфере гос управления; основание — административное законодательство; характер — властно-управляющий и принудительный
- B) состоят исключительно из договорных отношений
- C) одна сторона — государство, другая — гражданин
- D) основываются на гражданско-правовых нормах
- Правильный ответ: A
- Какие элементы включаются в механизм административно-правового регулирования?
- A) только нормы права
- B) нормы права, государственный аппарат, административно-правовые процедуры, меры принуждения
- C) только государственный аппарат
- D) только процедуры
- Правильный ответ: B
- В чем состоит отличие административно-правовых отношений от гражданско-правовых?
- A) в отсутствии государственной власти
- B) наличие принуждения и подчинения, субъектами выступают органы власти и граждане
- C) все основные стороны являются частными лицами
- D) не имеет право на применение санкций
- Правильный ответ: B
- Какие лица являются субъектами административно-правовых отношений?
- A) гражданин и банк по договору кредита
- B) гражданин и государственный орган (или должностное лицо), а также органы государственного управления и местного самоуправления
- C) две коммерческие организации
- D) суд и гражданин по гражданскому делу
- Правильный ответ: B
- Какие элементы включает механизм административно-правового регулирования?
- A) лишь нормы права
- B) нормы права, государственный аппарат, административно-правовые процедуры, меры принуждения
- C) только суд и нормы
- D) только административные процедуры
- Правильный ответ: B
- Какие административно-правовые методы выделяют в механизме регулирования?
- A) правовой, организационный, экономический, воспитательный
- B) договорной и гражданско-правовой
- C) судебный, уголовный
- D) только правовой
- Правильный ответ: A
- Пример отношения, относящегося к административно-правовым отношениям по содержанию:
- A) отношения по предоставлению государственной услуги гражданину
- B) отношения между двумя субъектами хозяйствования по договору
- C) отношения по возмещению вреда
- D) взаимоотношения между гражданами внутри семьи
- Правильный ответ: A
- Какой признак характеризует административно-правовые отношения как публично-правовые?
- A) отношение между гражданами на основе договора
- B) отношения, где субъектами являются органы власти и граждане и подчинение
- C) отношения по гражданскому праву
- D) любые отношения
- Правильный ответ: B
- Что из перечисленного является примером административно-правового отношения?
- A) гражданин и орган государственной власти по получению разрешения на строительство
- B) отношения между кредитором и заемщиком по договору
- C) трудовые отношения между работником и работодателем
- D) семейные отношения
- Правильный ответ: A
- В чем выражается особенность применения принуждения в административно-правовых отношениях?
- A) принуждение не применяется
- B) допускается применение мер административного принуждения к гражданам и организациям в рамках закона
- C) принуждение возможно только через суд
- D) принуждения как средство административного регулирования отсутствуют
- Правильный ответ: B
- Какой признак не относится к признакам административно-правовых отношений?
- A) общественные отношения, связанные с выполнением функций государственной власти
- B) подчинение участников другим лицам в рамках закона
- C) регулирование на основе гражданского права
- D) наличие элементов государственного принуждения
- Правильный ответ: C
- Что такое механизм административно-правового регулирования?
- A) набор способов и средств реализации государственной власти и регулирования в сфере административного права
- B) только набор нормативных актов
- C) выработка судебного решения
- D) ответственная система
- Правильный ответ: A
- Какие принципы характерны для административно-правовых отношений?
- A) принцип равенства участников без подчинения
- B) законность, подчинение должностным лицам, служебная дисциплина
- C) принцип свободы договора
- D) принцип частной автономии
- Правильный ответ: B
- Какие формы реализации норм административного права относятся к механизму?
- A) административная процедура, выдача актов, применение мер принуждения
- B) заключение договора
- C) судебная практика
- D) дипломатические инструменты
- Правильный ответ: A
Если нужно, могу адаптировать вопросы под более конкретный учебник или включить шкалу оценивания, время на выполнение и рекомендации по ответам.
Тест по истории для 11 класса: Борис Годунов – избрание на царство, его политика, причины падения
Вопрос 1: В каком году Борис Годунов был избран на царство?
A) 1584
B) 1598
C) 1605
D) 1613
Вопрос 2: Какое событие непосредственного предшествовало избранию Бориса Годунова на царство?
A) Убийство Ивана Грозного
B) Смерть Фёдора Ивановича
C) Начало Смутного времени
D) Осада Новгорода
Вопрос 3: Какую политику проводил Борис Годунов в отношении боярства?
A) Политику сближения с боярами
B) Политику репрессий против бояр
C) Политику формирования нового боярства
D) Политику полного игнорирования бояр
Вопрос 4: Какое важное экономическое решение принял Борис Годунов?
A) Ликвидация крестьянского права
B) Актуализация налогообложения
C) Введение единой денежной системы
D) Принятие закона о землеустройстве
Вопрос 5: Каковы были последствия введения Борисом Годуновым «дворцового налога» для крестьян?
A) Улучшение положения крестьян
B) Усложнение финансового положения крестьян
C) Привлечение крестьян к хуторной жизни
D) Освобождение от налогов
Вопрос 6: Что послужило одним из факторов падения режима Бориса Годунова?
A) Успехи в внешней политике
B) Массовые эпидемии и голод
C) Популярность среди крестьян
D) Обострение отношений с соседними государствами
Вопрос 7: Как назывался самозванец, претендующий на трон и называвшийся «царевичем Димитрием»?
A) Лжедмитрий I
B) Лжедмитрий II
C) Григорий Отрепьев
D) Дмитрий Самозванец
Вопрос 8: В результате каких событий Борис Годунов потерял поддержку бояр и народа?
A) Неудачные военные операции
B) Реформа образования
C) Невыполнение обещаний перед крестьянами
D) Поражение в дипломатии
Вопрос 9: Какое заявление Борис Годунов сделал в связи с восставшими против него?
A) «Я не боюсь потерять трон»
B) «Я буду защищать свою корону»
C) «Революция – это неизбежность»
D) «Я не могу быть царем без любви народа»
Вопрос 10: В каком году Борис Годунов умер?
A) 1601
B) 1604
C) 1605
D) 1606
Конец теста
Удачи на экзамене!
Тест по информатике для 6 класса: Алфавитный подход к измерению информации
Количество вопросов: 5
Что такое бит? A) Буква алфавита B) Минимальная единица информации C) Временной интервал D) Математическая операция
Какое значение может принимать один байт? A) 4 бита B) 8 бит C) 16 бит D) 32 бита
Что такое ASCII-кодировка? A) Система счисления B) Метод сжатия данных C) Стандарт кодирования символов D) Формат аудиофайлов
Что такое кодировка UTF-8? A) Система шифрования данных B) Универсальная кодировка символов C) Стандарт сжатия изображений D) Формат видеофайлов
Какая единица измерения используется для оценки информационного объема? A) Герцы B) Биты C) Люмены D) Ватты
Ответы:
- B) Минимальная единица информации
- B) 8 бит
- C) Стандарт кодирования символов
- B) Универсальная кодировка символов
- B) Биты
Желаю удачи на тесте!
Тест по английскому языку Тема: Animals Класс: 2
Какое слово на английском означает «кошка»? A. dog B. cat C. bird D. fish
Какое животное из списка говорит «meow»? A. dog B. cat C. cow D. pig
Какое слово на английском обозначает «собака»? A. cat B. dog C. horse D. fish
Какое животное живет в воде? A. fish B. dog C. cat D. bird
Какое животное обычно держат дома как домашнего питомца? A. lion B. tiger C. dog D. elephant
ОБЩЕСТВО С ОГРАНИЧЕННОЙ ОТВЕТСТВЕННОСТЬЮ «НОВАЯ
ШКОЛА»
420500, РЕСПУБЛИКА ТАТАРСТАН, М.Р-Н ВЕРХНЕУСЛОНСКИЙ, Г.П. ГОРОД ИННОПОЛИС, Г ИННОПОЛИС, УЛ УНИВЕРСИТЕТСКАЯ, Д. 5, ЭТАЖ 1, ПОМЕЩ. 111
