Новая школа

Ниже представлен тест по алгебре для 8 класса на тему: квадратичная функция, определение и свойства. Тип вопросов: открытые. Всего 10 вопросов. В конце — ответы с краткими решениями.

Тест

Дайте определение квадратичной функции и запишите её стандартную форму. Что обязательно должно быть в выражении?
Что означает коэффициент a в функции y = ax^2 + bx + c? Как он влияет на вид параболы (направление ветвей и ширина)?
Найдите вершину параболы и ось симметрии для функции y = 4x^2 + 8x + 1.
Найдите дискриминант и корни уравнения 4x^2 + 8x + 1 = 0.
Преобразуйте квадратную функцию y = 3x^2 + 12x + 5 в форму вершины (поглощение квадрата).
Найдите вершину и ось симметрии функции y = -2x^2 + 4x + 1.
Что означает пересечение графика квадратичной функции с осью x? Как можно найти координаты этих точек?
Найдите минимальное значение функции и где оно достигается для y = x^2 - 6x + 5.
Запишите уравнение квадратичной функции в форме вершины, если вершина должна быть в точке (-2, 5) и коэффициент a = 2. (Запишите общий вид и конкретное уравнение.)
Кратко объясните, как изменение параметров a, b, c в y = ax^2 + bx + c влияет на график: что изменится, если изменить a, что — b, что — c?

Ответы

Определение: квадратичная функция — это функция вида y = a x^2 + b x + c, где a ≠ 0. Это график — парабола. Стандартная форма: y = a x^2 + b x + c.
a — коэффициент «мощности» квадратичного члена. Если a > 0, парабола ориентирована вверх (есть минимум); если a < 0 — вниз (есть максимум). Чем больше по модулю |a|, тем уже график (меньше «ширина»); чем меньше по модулю |a|, тем шире график.
Для y = 4x^2 + 8x + 1:

координата вершины x_v = -b/(2a) = -8/(2·4) = -1.
y_v = f(-1) = 4(1) + 8(-1) + 1 = -3.
вершина V(-1, -3). ось симметрии x = -1.

Для y = 4x^2 + 8x + 1:

дискриминант D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4·4·1 = 64 - 16 = 48.
корни x1, x2 = (-b ± sqrt(D)) / (2a) = (-8 ± sqrt(48)) / 8 = (-8 ± 4√3) / 8 = (-2 ± √3) / 2.
Таким образом, есть два действительных корня: x1 = (-2 + √3)/2 и x2 = (-2 - √3)/2.

y = 3x^2 + 12x + 5 = 3[(x^2 + 4x) ] + 5. После доп. квадрата: x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4. Итого y = 3[(x + 2)^2 - 4] + 5 = 3(x + 2)^2 - 7. Форма вершины: y = 3(x + 2)^2 - 7.
Для y = -2x^2 + 4x + 1:

x_v = -b/(2a) = -4/(2·(-2)) = -4/(-4) = 1.
y_v = f(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 1 = 3.
вершина V(1, 3). ось симметрии x = 1.

Пересечение с осью x — это корни уравнения y = 0 (или f(x) = 0). То есть точки, где график пересекает ось абсцисс. Способ нахождения: решить квадратное уравнение ax^2 + bx + c = 0; проверить дискриминант: D > 0 — два различных корня, D = 0 — один корень (двойной), D < 0 — корней нет в действительных числах.
Для y = x^2 - 6x + 5:

x_min = -b/(2a) = 6/(2) = 3 (так как a > 0, это минимум).
y_min = f(3) = 9 - 18 + 5 = -4.
Минимальное значение: -4, достигается в x = 3.

Уравнение в форме вершины при вершине (-2, 5) и a = 2: y = a(x - h)^2 + k = 2(x - (-2))^2 + 5 = 2(x + 2)^2 + 5.
Влияние параметров:

a: определяет направление ветвей параболы (a > 0 вверх, a < 0 вниз) и «ширину» графика (чем больше |a|, тем уже график; чем меньше, тем шире). Вершина зависит от b и c, но основное влияние на форму — через a.
b: сдвигает график по оси x, меняя положение вершины по оси x (ось симметрии x = -b/(2a)).
c: сдвигает график по оси y (y-перехват), влияет на вертикальный сдвиг графика и на y-координату вершины через f(-b/(2a)).

Если захотите, могу распечатать тест в удобном формате (с разбивкой на листы, можно добавить поля для ответов и примеры заполнения).

Бесплатный сервис «Учительская»

Тест на тему Квадратичная функция, определение, свойства

Популярные тесты

Тест по микробиологии: Герпесвирусы

Класс: 11

Тест: Настоящее простое время

Проверка ответов: