Тест на тему 89963539146

1. Выберите все верные утверждения о точках и плоскостях.

   A) Через любые две различные точки проходит единственная прямая.
   B) Через любые три точки проходит единственная плоскость.
   C) Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.
   D) Если три точки лежат на одной прямой, через них нельзя провести плоскость.

2. Какие взаимные положения могут иметь две плоскости в пространстве?

   A) Совпадать.
   B) Пересекаться по прямой.
   C) Быть параллельными.
   D) Пересекаться в одной точке.

3. Выберите все верные утверждения о двух прямых в пространстве.

   A) Любые две пересекающиеся прямые лежат в одной плоскости.
   B) Любые две параллельные прямые лежат в одной плоскости.
   C) Любые непересекающиеся прямые являются скрещивающимися.
   D) Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости.

4. Выберите все верные утверждения о параллельности прямой и плоскости.

   A) Прямая, не имеющая общих точек с плоскостью, параллельна этой плоскости.
   B) Любая прямая, лежащая в плоскости, параллельна этой плоскости.
   C) Если прямая параллельна одной прямой, лежащей в плоскости, то она параллельна этой плоскости.
   D) Если прямая параллельна плоскости, то в этой плоскости существует прямая, параллельная данной.

5. Выберите все верные утверждения о перпендикулярности прямой и плоскости.

   A) Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, проходящим через точку её пересечения с плоскостью, то она перпендикулярна этой плоскости.
   B) Если прямая перпендикулярна одной прямой плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости.
   C) Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна каждой прямой этой плоскости, проходящей через основание перпендикуляра.
   D) Прямая, перпендикулярная плоскости, лежит в этой плоскости.

6. Точка \(M\) не лежит в плоскости \(\alpha\), а \(MH\perp\alpha\), \(H\in\alpha\). Выберите все верные утверждения.

   A) \(MH\) — расстояние от точки \(M\) до плоскости \(\alpha\).
   B) Для любой точки \(P\in\alpha\), \(P\ne H\), выполняется \(MP>MH\).
   C) Все отрезки, соединяющие \(M\) с точками плоскости \(\alpha\), имеют одинаковую длину.
   D) Отрезок \(MH\) лежит в плоскости \(\alpha\).

7. Выберите все верные утверждения о двух параллельных плоскостях.

   A) Расстояние между параллельными плоскостями постоянно.
   B) Любой отрезок с концами в двух параллельных плоскостях перпендикулярен этим плоскостям.
   C) Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой.
   D) Две параллельные плоскости имеют общую прямую.

8. Выберите все верные утверждения о двугранном угле.

   A) Линейный угол двугранного угла образуют лучи его граней, проведённые из точки ребра перпендикулярно ребру.
   B) Линейные углы одного и того же двугранного угла равны.
   C) Любой двугранный угол является прямым.
   D) Ребро двугранного угла является общей прямой его граней.

9. Выберите все верные утверждения об угле между прямой и плоскостью.

   A) Если прямая не перпендикулярна плоскости, то угол между ними равен углу между прямой и её ортогональной проекцией на плоскость.
   B) Если прямая лежит в плоскости, угол между ними равен \(0^\circ\).
   C) Если прямая перпендикулярна плоскости, угол между ними равен \(0^\circ\).
   D) Угол между прямой и плоскостью может быть тупым.

10. Выберите все верные утверждения об ортогональном проектировании на плоскость.

A) Длина ортогональной проекции отрезка не превосходит длину самого отрезка.
B) Ортогональной проекцией прямой может быть прямая или точка.
C) Ортогональной проекцией точки является прямая.
D) Если отрезок параллелен плоскости, то длина его проекции равна длине самого отрезка.

11. Даны векторы \(\vec a=(1;2;-1)\) и \(\vec b=(2;-1;0)\). Выберите все верные утверждения.

A) \(\vec a+\vec b=(3;1;-1)\).
B) \(\vec a-\vec b=(1;3;-1)\).
C) \(2\vec a-\vec b=(0;5;-2)\).
D) \(\vec a\cdot\vec b=3\).

12. Даны векторы \(\vec u=(1;-2;2)\) и \(\vec v=(2;1;0)\). Выберите все верные утверждения.

A) Векторы \(\vec u\) и \(\vec v\) перпендикулярны.
B) \(|\vec u|=3\).
C) \(|\vec v|=5\).
D) Угол между векторами равен \(45^\circ\).

13. Даны точки \(A(1;2;3)\) и \(B(4;6;3)\). Выберите все верные утверждения.

A) \(AB=5\).
B) Середина отрезка \(AB\) имеет координаты \(\left(\frac52;4;3\right)\).
C) \(\overrightarrow{AB}=(4;6;3)\).
D) Расстояние от точки \(A\) до начала координат равно \(5\).

14. Выберите все точки, лежащие в плоскости \(2x-y+z=3\).

A) \(P(1;0;1)\).
B) \(Q(0;1;2)\).
C) \(R(2;1;0)\).
D) \(S(1;1;0)\).

15. Даны плоскости \(\alpha: 2x-y+z=4\) и \(\beta: 4x-2y+2z=7\). Выберите все верные утверждения.

A) Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) параллельны.
B) Плоскости \(\alpha\) и \(\beta\) совпадают.
C) Нормальные векторы этих плоскостей коллинеарны.
D) Пересечение плоскостей является прямой.

16. Прямоугольный параллелепипед имеет измерения \(3\), \(4\) и \(12\). Выберите все верные утверждения.

A) Его объём равен \(144\).
B) Длина пространственной диагонали равна \(13\).
C) Площадь полной поверхности равна \(192\).
D) Площадь грани с рёбрами \(3\) и \(4\) равна \(24\).

17. Ребро куба равно \(5\). Выберите все верные утверждения.

A) Объём куба равен \(125\).
B) Площадь полной поверхности равна \(150\).
C) Пространственная диагональ равна \(15\).
D) Сумма длин всех рёбер равна \(60\).

18. Прямая треугольная призма имеет в основании прямоугольный треугольник с катетами \(3\) и \(4\), а её высота равна \(10\). Выберите все верные утверждения.

A) Площадь основания равна \(6\).
B) Объём призмы равен \(60\).
C) Площадь боковой поверхности равна \(120\).
D) Площадь полной поверхности равна \(120\).

19. Правильная четырёхугольная пирамида имеет сторону основания \(6\) и высоту \(4\). Выберите все верные утверждения.

A) Площадь основания равна \(36\).
B) Объём пирамиды равен \(48\).
C) Апофема пирамиды равна \(5\).
D) Площадь боковой поверхности равна \(72\).

20. Выберите все верные утверждения о правильном тетраэдре.

A) Тетраэдр имеет четыре грани.
B) Тетраэдр имеет шесть рёбер.
C) Все его грани являются равносторонними треугольниками.
D) Тетраэдр имеет шесть вершин.

21. Прямой круговой цилиндр имеет радиус основания \(3\) и высоту \(5\). Выберите все верные утверждения.

A) Площадь основания равна \(9\pi\).
B) Объём цилиндра равен \(45\pi\).
C) Площадь боковой поверхности равна \(30\pi\).
D) Площадь полной поверхности равна \(45\pi\).

22. Прямой круговой конус имеет радиус основания \(3\) и высоту \(4\). Выберите все верные утверждения.

A) Площадь основания равна \(9\pi\).
B) Объём конуса равен \(12\pi\).
C) Площадь боковой поверхности равна \(15\pi\).
D) Длина образующей равна \(4\).

23. Радиус шара равен \(6\). Выберите все верные утверждения.

A) Диаметр шара равен \(12\).
B) Площадь поверхности шара равна \(144\pi\).
C) Объём шара равен \(288\pi\).
D) Площадь большого круга равна \(72\pi\).

24. Все линейные размеры тела увеличили в \(2\) раза. Выберите все верные утверждения.

A) Площадь поверхности увеличилась в \(2\) раза.
B) Длины соответствующих диагоналей увеличились в \(2\) раза.
C) Объём увеличился в \(8\) раз.
D) Площадь поверхности увеличилась в \(8\) раз.

25. Выберите все верные формулы объёма.

A) Объём призмы: \(V=S_{\text{осн}}h\).
B) Объём пирамиды: \(V=\frac13S_{\text{осн}}h\).
C) Объём цилиндра: \(V=\pi rh\).
D) Объём конуса: \(V=\pi r^2h\).

26. Сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию и не совпадающей с ним. Выберите все верные утверждения.

A) Сечение является многоугольником, подобным основанию.
B) Отношение периметра сечения к периметру основания равно коэффициенту подобия.
C) Площадь сечения всегда равна площади основания.
D) Сечение обязательно является кругом.

27. Рассматривается прямой круговой цилиндр радиуса \(r\) и высоты \(h\). Выберите все верные утверждения.

A) Сечение плоскостью, параллельной основанию, является кругом радиуса \(r\).
B) Осевое сечение цилиндра является прямоугольником со сторонами \(2r\) и \(h\).
C) Любое сечение цилиндра плоскостью является кругом.
D) Площадь осевого сечения равна \(\pi r^2\).

28. Для шара радиуса \(R\) выберите все верные утверждения.

A) Сечение шара плоскостью, проходящей через центр, является кругом радиуса \(R\).
B) Если плоскость находится на расстоянии \(d<R\) от центра, радиус круга сечения равен \(\sqrt{R^2-d^2}\).
C) Плоскость, пересекающая внутреннюю область шара, высекает круг.
D) Плоскость, удалённая от центра шара на расстояние больше \(R\), пересекает шар по окружности.

29. В кубе \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) со стороной \(a\) выберите все верные утверждения.

A) \(AC\perp BD\).
B) \(AC\parallel A_1C_1\).
C) \(AB\perp A_1B_1\).
D) \(AC=a\sqrt2\).

30. Рассмотрим плоскость \(\alpha: x=2\) и прямые, заданные параметрически, где \(t\in\mathbb R\). Выберите все верные утверждения.

A) Прямая \(\ell_1: x=t,\ y=1,\ z=0\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\).
B) Прямая \(\ell_2: x=2,\ y=t,\ z=0\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\).
C) Прямая \(\ell_3: x=3,\ y=t,\ z=1\) параллельна плоскости \(\alpha\).
D) Прямая \(\ell_4: x=t,\ y=t,\ z=0\) перпендикулярна плоскости \(\alpha\).