2 вариант - Профильная математика

Средняя линия трапеции равна 30. Одна из диагоналей трапеции делит среднюю линию в отношении $5:3$. Найдите меньшее основание трапеции.

Даны векторы $\overrightarrow{\mathrm{a}}(-8;0,5)$и $\overrightarrow{\mathrm{b}}(5;24)$. Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{\mathrm{a}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{b}}$.

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём цилиндра равен 72. Найдите объём конуса.

В магазине в одной коробке лежат вперемешку ручки с чёрными, синими или красными чернилами одинаковые на вид. Покупатель случайным образом выбирает одну ручку. Вероятность того, что она окажется синей, равна 0,47, а того, что она окажется красной, равна 0,18. Найдите вероятность того, что ручка окажется чёрной.

Стрелок стреляет по трём мишеням. Вероятность попадания в мишень первым выстрелом равна 0,4. Если стрелок промахнулся, он может выстрелить по мишени второй раз. Вероятность попадания в мишень вторым выстрелом равна 0,5. Найдите вероятность того, что стрелок поразит ровно две мишени из трёх.

Найдите значение выражения ${\log }_{0,2}100-{\log }_{0,2}4.$

На рисунке изображён график $y=f\prime (x)$ — производной функции $f\left(x\right)$, определённой на интервале $(-5;12)$. Найдите количество точек минимума функции $f\left(x\right)$, принадлежащих отрезку $[-4;9]$.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $\mathrm{a}=6250{\text{\hspace{0.17em}км/ч}}^2$. Скорость $v$ вычисляется по формуле $\mathrm{v}=\sqrt{2\mathrm{la}}$, где $\mathrm{l}$ — пройденный автомобилем путь. Найдите, сколько километров проедет автомобиль к моменту, когда он разгонится до скорости $100 \, \text{км/ч}$.

Расстояние между пристанями $A$ и $B$ равно $72\text{км}$. Из $A$ в $B$ по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт $B$, тотчас повернула обратно и возвратилась в $A$. К этому времени плот проплыл $24\text{км}$. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна $3\text{км/ч}$. Ответ дайте в км/ч.

На рисунке изображён график функции $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}+\mathrm{a}}\mathrm{.}$ Найдите $\mathrm{f}\left(18\right)$.

Найдите наибольшее значение функции $\mathrm{y}=(\mathrm{x}+15{)}^2{\mathrm{e}}^{-13-\mathrm{x}}$ на отрезке $[-14; -12]$.

a) Решите уравнение ${\cos }^4\frac{\mathrm{x}}{4}-{\sin }^4\frac{\mathrm{x}}{4}=\sin (\mathrm{x}-\frac{\mathrm{\pi }}{2})\mathrm{.}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[\mathrm{\pi };5\mathrm{\pi }]$.

Решить неравенство $3\cdot {25}^{1-\frac{3}{\mathrm{x}}}-152\cdot {15}^{-\frac{3}{\mathrm{x}}}+5\cdot 3^{2-\frac{6}{\mathrm{x}}}>0.$

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 4 года. Условия его возврата таковы:

• каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
• с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать 324 000 рублей.

Какую сумму (в рублях) планируется взять в кредит, если он будет полностью погашен этими четырьмя платежами?

Окружность с центром в точке $\text{O}$ вписана в ромб $\mathrm{ABCD}$ и касается его сторон $\mathrm{AB}$, $\mathrm{CD}$ и $\mathrm{AD}$ соответственно в точках $\text{F}$, $\mathrm{K}$ и $\mathrm{P}$.

а) Докажите, что прямая $\mathrm{FP}$ параллельна диагонали ромба $\mathrm{BD}$.

б) Найдите площадь ромба $\mathrm{ABCD}$, если известно, что $\mathrm{FP}=6$ и $\mathrm{PK}=8$.

На координатной прямой отмечены целые числа. Митя играет в следующую игру: фишка стоит на отметке $0$; Митя бросает игральный кубик и сдвигает фишку на выпавшее число очков вправо (положительное направление прямой), если выпадает чётное число очков, и влево (отрицательное направление прямой), если выпадает нечётное число очков. Через некоторое время Митя закончил игру.

а) Может ли фишка оказаться на отметке $0$, если Митя 45 раз бросил кубик?

б) Известно, что чётное число очков выпадало столько же раз, сколько и нечётное число очков. Какое наименьшее число бросков кубика понадобится, чтобы фишка оказалась на отметке $-35$?

в) Известно,$-40$, если также известно, что при бросании кубика каждая грань выпадала хотя бы один раз, но любые две грани не выпадали одинаковое количество раз?