Демоверсии ЕГЭ 2026 - Профильная математика

Площадь параллелограмма ABCD равна 24. Точка E — середина стороны AD. Найдите площадь трапеции BCDE.

Основания трапеции равны 4 и 10. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей. 

Острый угол В прямоугольного треугольника равен 65°. Найдите угол между высотой СН и медианой СМ, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 103°, угол CAD равен 42°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.

На координатной плоскости изображены векторы $\overrightarrow{\mathrm{a} }$ и $\overrightarrow{\mathrm{b} }$ Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{\mathrm{a} }·\overrightarrow{\mathrm{b} }.$

Даны векторы $\overrightarrow{\mathrm{a}}=(2;0), \overrightarrow{\mathrm{b}}=(1;4).$  Найдите длину вектора $\overrightarrow{\mathrm{a}}+3\overrightarrow{\mathrm{b}}.$

Даны векторы $\overrightarrow{\mathrm{a}}(5;4)$ и $\overrightarrow{\mathrm{b}}(8;-9).$ Найдите скалярное произведение $\overrightarrow{\mathrm{a}}·\overrightarrow{\mathrm{b}}.$

Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.

Найдите объем многогранника, вершинами которого являются вершины A, B, C, D, A₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁, у которого AB  =  3, AD  =  9, AA₁  =  4.

В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает $\frac{1}{3}$ высоты. Объём жидкости равен 4 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна $9\sqrt{2.}$ Найдите радиус сферы.

Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19.

В группе туристов 50 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 5 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист Г. полетит первым рейсом вертолёта.

В коробке 5 синих, 9 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.

Помещение освещается фонарём с тремя лампами. Вероятность перегорания одной лампы в течение года равна 0,7. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.

При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше, чем 810 г, равна 0,95. Вероятность того, что масса окажется больше, чем 790 г, равна 0,84. Найдите вероятность того, что масса буханки больше, чем 790 г, но меньше, чем 810 г.

Найдите корень уравнения $4^{\mathrm{x}-7}=\frac{1}{64}.$

Найдите корень уравнения $\sqrt{44-5\mathrm{x}}=3.$

Найдите корень уравнения ${\log }_8\left(5\mathrm{x}+47\right)=3.$

Найдите значение выражения $3\sin \left(\frac{13\mathrm{\pi }}{12}\right)\cos \left(\frac{13\mathrm{\pi }}{12}\right).$

Найдите значение выражения $\frac{{\log }_7\left(32\right)}{{\log }_7\left(2\right)}.$

На рисунке изображен график функции $\mathrm{y}=\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)$  — определенной на интервале $(-12; 12).$ Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке $[-6; 11].$

На рисунке изображён график $\mathrm{y}=\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)$ производной функции f(x). На оси абсцисс отмечено десять точек: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈, x₉, x₁₀. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам возрастания функции f(x)?

Перед отправкой тепловоз издал гудок с частотой ${\mathrm{f}}_0=295$ Гц. Чуть позже гудок издал подъезжающий к платформе такой же тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка $\mathrm{f}$ (в Гц) больше первого: она зависит от скорости тепловоза $v$ (в м/с) и изменяется по закону $\mathrm{f}\left(\mathrm{v}\right)=\frac{{\mathrm{f}}_0}{1-\frac{\mathrm{v}}{\mathrm{c}}}\text{ (Гц)},$ где $\mathrm{c}$ — скорость звука (в м/с). Человек, стоящий на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее чем на 5 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек смог различить сигналы, а $\mathrm{c}=300$ м/с. Ответ дайте в м/с.

Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью ${\text{v}}_0=90$ км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением $\mathrm{a}=16$ км/ч². Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением $\mathrm{S}={\mathrm{v}}_0\mathrm{t}+\frac{{\mathrm{at}}^2}{2},$ где t  — время в часах. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в 72 км от города. Ответ выразите в минутах.

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением a км/ч ². Скорость вычисляется по формуле $\mathrm{v}=\sqrt{2\mathrm{la}},$ где l  — пройденный автомобилем путь. Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,5 километра, приобрести скорость 70 км/ч. Ответ выразите в км/ч².

От пристани A к пристани B, расстояние между которыми равно 323 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 2 часа после этого следом за ним, со скоростью на 2 км/⁠ч большей, отправился второй. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

Смешав 45-процентный и 97-процентный растворы кислоты и добавив 10 кг чистой воды, получили 62-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 72-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 45-процентного раствора использовали для получения смеси?

На рисунке изображён график функции $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{k}}{\mathrm{x}}.$ Найдите $\mathrm{f}\left(30\right)$.

На рисунке изображены графики функций видов $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}$ и $\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{kx},$ пересекающиеся в точках A и B. Найдите абсциссу точки B.

Найдите точку максимума функции $\mathrm{y}=9\ln \left(\mathrm{x}-4\right)-9\mathrm{x}-7.$

Найдите точку максимума функции $\mathrm{y}={(\mathrm{x}+8)}^2{\mathrm{e}}^{3-\mathrm{x}}.$

Найдите точку минимума функции $\mathrm{y}=-\frac{\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2+256}.$

а)  Решите уравнение $2{\sin }^3\mathrm{x}=\sqrt{2}{\cos }^2\mathrm{x}+2\mathrm{sinx}.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[-4\mathrm{\pi };-\frac{5\mathrm{\pi }}{2}\right].$

а)  Решите уравнение $2+2\cos (\mathrm{\pi }-2\mathrm{x})+\sqrt{8}\mathrm{sinx}=\sqrt{6}+\sqrt{12}\mathrm{sinx}.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[3\mathrm{\pi };\frac{9\mathrm{\pi }}{2}\right].$

Дана правильная четырехугольная пирамида $\mathrm{SABCD}$ с основанием $\mathrm{ABCD}$. Плоскость α проходит через ребро $\mathrm{AB}$и пересекает ребра $\mathrm{SC}$ и $\mathrm{SD}$в точках $\mathrm{M}$ и $\mathrm{N}$ соответственно. Известно, что $\mathrm{AB}=\mathrm{AN}=\mathrm{BM}=5\mathrm{MN}.$

а)  Докажите, что $\mathrm{SM}:\mathrm{MC}=\mathrm{SN}:\mathrm{ND}=1:4.$

б)  Найдите косинус угла между плоскостью α и плоскостью основания пирамиды.

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K$.

а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна рёбрам $AB$ и $CD$.

б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha$, если известно, что $BK = 1$, $KC = 3$.

Решите неравенство $\frac{{\log }_2(2-\mathrm{x})-{\log }_2(\mathrm{x}+1)}{{\log }_2^2{\mathrm{x}}^2+{\log }_2{\mathrm{x}}^4+1}\ge 0$

Решите неравенство $\frac{{27}^{\mathrm{x}}-9^{\mathrm{x}+1}+3^{\mathrm{x}+3}-27}{50{\mathrm{x}}^2-110\mathrm{x}+60,5}\ge 0$

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 800 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:

—  каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года (r  —  целое число);

—  с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга;

—  в июле 2026, 2027, 2028, 2029, 2030 годов долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

— в июле 2030 года долг должен составлять 200 тыс. руб.;

—  в июле 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года;

—  к июлю 2035 года долг должен быть полностью погашен.

Найдите r, если общая сумма выплат по кредиту составила 1480 тыс. руб.

15 декабря 2026 года планируется взять кредит размером A миллионов рублей на 24 месяца. Условия возврата кредита таковы:

—  1-⁠го числа каждого месяца сумма долга возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

—  со 2-⁠го по 14-⁠е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;

—  15-⁠го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-⁠е число предыдущего месяца;

—  к 15 декабря 2028 года долг должен быть полностью погашен.

Чему равно A, если общая сумма платежей в 2028 году составит 17 925 тысяч рублей?

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Известно, что AB=CD=3 и BC=DE=4.

а)  Докажите, что AC=CE.

б)  Найдите длину диагонали BE, если AD=6.

В параллелограмме ABCD c острым углом BAD из вершины B проведены высоты BP и BQ, причем точка P лежит на стороне AD, а точка Q  — на стороне CD. На стороне AD отмечена точка M. Известно, что AM  =  BP, AB  =  BQ.

а)  Докажите, что BM  =  PQ.

б)  Найдите площадь треугольника APQ, если AM  =  BP  =  8, AB  =  BQ  =  10.

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

${\left(\left|\mathrm{x}-{\mathrm{a}}^2\right|+\left|\mathrm{x}+1\right|\right)}^2-7\left(\left|\mathrm{x}-{\mathrm{a}}^2\right|+\left|\mathrm{x}+1\right|\right)+4{\mathrm{a}}^2+4=0$

имеет ровно два различных корня.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых система уравнений

$\left\{\begin{array}{l}({\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}-\mathrm{y}+3)\cdot \sqrt{\mathrm{x}-\mathrm{y}+3}=0\\ \mathrm{y}=3\mathrm{x}+\mathrm{a}\end{array}\right.$

имеет ровно два различных решения.

На доске написано 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых. Оказалось, что среднее арифметическое любых четырех или пяти чисел из записанных является целым числом.

а)  Могут ли среди записанных на доске чисел одновременно быть числа 403 и 2013?

б)  Может ли одно из записанных на доске чисел быть квадратом натурального числа, если среди записанных на доске чисел есть число 403?

в)  Известно, что среди записанных на доске чисел есть число 1 и квадрат натурального числа n, большего 1. Найдите наименьшее возможное значение n.

Из пары натуральных чисел $(a; b)$, где $a > b$, за один ход получают пару $(a + b; a - b)$.

а) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары $(100; 1)$ пару, большее число в которой равно 400?

б) Можно ли за несколько таких ходов получить из пары $(100; 1)$пару $(806; 788)$?

в) Какое наименьшее $a$ может быть в паре $(a; b)$, из которой за несколько ходов можно получить пару $(806; 788)$?