Реальный вариант ЕГЭ 2026 (досрочная волна) - Профильная математика

На рисунке изображен график производной функции $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right),$ определенной на интервале $\left(-7;14\right).$ Найдите количество точек максимума функции $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$ на отрезке $\left[-6;9\right].$

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому $\mathrm{P}={\mathrm{\sigma ST}}^4.$ где P  — мощность излучения звезды (в ваттах), ${\text{σ=5,7·10}}^{-8} \frac{\text{Вт}}{{\text{м}}^2·{\text{К}}^4}$  — постоянная, S  — площадь поверхности звезды (в квадратных метрах), а T  — температура (в кельвинах). Известно, что площадь поверхности не-которой звезды равна $\frac{1}{81}·{10}^{21}$ м², а мощность её излучения равна $9,12·{10}^{26}$ Вт. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.

а) Решите уравнение ${\cos }^2\mathrm{x}+{\sin }^2(\mathrm{x}-\frac{\mathrm{\pi }}{4})=\frac{1}{2}.$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[3\mathrm{\pi };4\mathrm{\pi }]$.

В правильной треугольной призме ${\mathrm{ABCA}}_1{\mathrm{B}}_1{\mathrm{C}}_1$ точка $\mathrm{K}$ — середина ребра ${\mathrm{A}}_1{\mathrm{B}}_1$. Плоскость $\mathrm{\alpha }$ проходит через точки $\mathrm{A},\mathrm{K}$ и $\mathrm{C}$.
а) Докажите, что сечением призмы плоскостью $\mathrm{\alpha }$ является равнобедренная трапеция.
б) Найдите расстояние от точки $\mathrm{B}$ до плоскости сечения, если все ребра призмы равны 4.

Решите неравенство $\frac{4}{{\log }_2\mathrm{x}}-{\log }_2\frac{4}{\mathrm{x}}\le \frac{38}{{\log }_2{\mathrm{x}}^2}.$

В июле 2016 года планируется взять кредит в размере 6,6 млн руб. Условия возврата таковы:

  — каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года.

  — с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга.

  — в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным 6,6 млн руб.

  — суммы выплат 2020 и 2021 годов равны.

Найдите r, если в 2021 году долг будет выплачен полностью и общие выплаты составят 12,6 млн руб.

В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N  — середины гипотенузы AC и катета BC соответственно. Точка K лежит на катете BC так, что BK : KC  =  1 : 3.

а)  Докажите, что AN  =  2KM.

б)  Пусть P  — точка пересечения отрезков AN и KM. Найдите длину отрезка прямой BP, заключенного внутри треугольника KMN, если AB  =  6, BC  =  8.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом их которых система
$\left\{\begin{array}{l}{2}^{\mathrm{\mid }\mathrm{x}\mathrm{\mid }+3}+7\mathrm{\mid }\mathrm{x}\mathrm{\mid }+1=8\mathrm{y}+7{\mathrm{x}}^2+\mathrm{a},\\ {\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2=1\end{array}\right.$
имеет ровно одно решение.

а)  Можно ли представить число 2043 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?

б)  Можно ли представить число 599 в виде суммы двух различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова?

в)  Найдите наименьшее число, которое можно представить в виде суммы семи различных натуральных чисел, сумма цифр которых одинакова.