Реальный вариант 2021 (основная волна, Подмосковье) - Профильная математика

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведенными из вершины прямого угла, равен $40°$. Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

В магазине вся мебель продаётся в разобранном виде. Покупатель может заказать сборку мебели на дому, стоимость которой составляет 10% от стоимости купленной мебели. Шкаф стоит 3300 рублей. Во сколько рублей обойдётся покупка этого шкафа вместе со сборкой?

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 6. Найдите объем шара.

Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по теме "Неравенства". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Неравенства".

Найдите корень уравнения: ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{\mathrm{x}-8}=\frac{1}{9}.$

Найдите значение выражения $\frac{5\sin \left(98°\right)}{\sin \left(49°\right)·\sin \left(41°\right)}.$

На рисунке изображён график   — производной функции определенной на интервале (−8; 3). В какой точке отрезка [−3; 2] функция принимает наибольшее значение?

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет ${\mathrm{R}}_1=96\text{\hspace{0.17em}Ом}$. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление ${\mathrm{R}}_2$ этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями ${\mathrm{R}}_1$ и ${\mathrm{R}}_2$ их общее сопротивление даётся формулой ${\mathrm{R}}_{\text{общ}}=\frac{{\mathrm{R}}_1{\mathrm{R}}_2}{{\mathrm{R}}_1+{\mathrm{R}}_2}\left(\text{Ом}\right),$а для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше $24 \, \text{Ом}$. Ответ выразите в омах.

На изготовление 475 деталей первый рабочий тратит на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 550 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Найдите точку минимума функции

а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD проведена высота SH. K  — середина ребра SD, N  — середина ребра CD. Плоскость ABK пересекает ребро SC в точке P.

а)  Докажите, что прямая PK делит отрезок NS пополам.

б)  Найдите расстояние от точки P до плоскости ABS, если SH = 15, CD = 16.

Решите неравенство:

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 900 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:

— в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 12% по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 8% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2035 года кредит должен быть погашен полностью.

Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

Дана трапеция ABCD с большим основанием AD, вписанная в окружность. Продолжение высоты трапеции BH пересекает окружность в точке K.

а)  Докажите, что отрезки AC и AK перпендикулярны.

б)  Найдите AD, если радиус описанной окружности равен 6, угол BAC составляет 30°, отношение площадей BCNH к NKH равно 35, где N  — точка пересечения отрезков AD и CK.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

Даны три различных натуральных числа такие, что второе число равно сумме цифр первого, а третье  — сумме цифр второго.

а)  Может ли сумма трех чисел быть равной 420?

б)  Может ли сумма трех чисел быть равной 419?

в)  Сколько существует троек чисел, таких что: первое число  — трехзначное, а последнее равно 5?