Реальный вариант 2021 (основная волна, Санкт-Петербург) - Профильная математика

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и медианой, проведёнными из вершины прямого угла, равен $38°$. Найдите больший из острых углов этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

В магазине вся мебель продаётся в разобранном виде. Покупатель может заказать сборку мебели на дому, стоимость которой составляет 10% от стоимости купленной мебели. Шкаф стоит 5700 рублей. Во сколько рублей обойдётся покупка этого шкафа вместе со сборкой?

Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 2. Найдите объем шара.

Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

В сборнике билетов по математике всего 20 билетов, в 7 из них встречается вопрос по теме "Производная". Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по теме "Производная".

Найдите корень уравнения: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{6-2\mathrm{x}}=4.$

Найдите значение выражения: $\frac{-17\sin \left(108°\right)}{\sin \left(54°\right)·\sin \left(36°\right)}.$

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 4). В какой точке отрезка [−7; −3] f(x) принимает наименьшее значение?

На изготовление 391 детали первый рабочий затрачивает на 6 часов меньше, чем второй рабочий на изготовление 460 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 3 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает первый рабочий?

Найдите точку максимума функции

а)  Решите уравнение

б)  Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания AD = 14, высота SH = 24. Точка P  — середина бокового ребра SD, а точка N  — середина ребра CD. Плоскость ABP пересекает боковое ребро SC в точке K.

а)  Докажите, что прямая KP пересекает отрезок SN в его середине.

б)  Найдите расстояние от точки K до плоскости ABS.

Решите неравенство:

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 700 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:

— в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 19% по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2035 года кредит должен быть погашен полностью.

Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

Трапеция ABCD с большим основанием AD и высотой BH вписана в окружность. Прямая BH вторично пересекает эту окружность в точке K.

а)  Докажите, что прямые AC и AK перпендикулярны.

б)  Прямые CK и AD пересекаются в точке N. Найдите AD, если радиус окружности равен 12, а площадь четырёхугольника BCNH в 8 раз больше площади треугольника KNH.

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

Даны три различных натуральных числа такие, что второе число равно сумме цифр первого, а третье  — сумме цифр второго.

а)  Может ли сумма трех чисел быть равной 2022?

б)  Может ли сумма трех чисел быть равной 2021?

в)  Сколько существует троек чисел, таких что первое число трехзначное, а последнее равно 2?