Тренажёр ЕГЭ Профильная математика

В треугольнике АВС на сторонах АВ и АС отмечены точки С1 и В1 соответственно, причем $B{C}_1:A{C}_1=1:3$, $A{B}_1:C{B}_1=2:5$. Прямые $B{B}_1$ и $C{C}_1$ пересекаются в точке О.

а) Докажите, чтo площадь треугольника BOC в десять раз больше площади треугольника $BO{C}_1$.

б) Найдите площадь четырехугольника $A{B}_{1}O{C}_1$, если площадь треугольника $B_{1}OC$ равна 150.

Прямая, проходящая через вершину В, прямоугольника ABCD, перпендикулярная диагонали АС и пересекает сторону АD в точке M, равноудаленной от вершин В и D. 

а) Докажите, что BM и ВD делят угол В на три равных угла.

б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей прямоугольника ABCD до прямой СМ, если 

Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 8 и 17 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 7,5, средняя линия трапеции равна 17,5. Прямые KL и MN пересекаются в точке A. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM.

На прямой, содержащей биссектрису AD прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C, взята точка E, удаленная от вершины А на расстояние, равное $\sqrt{26}.$ Найдите площадь треугольника ВСЕ, если ВС=5, АС=12.

Окружности радиусов 4 и 13 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке L. Прямая, проходящая через точку L, вторично пересекает меньшую окружность в точке K, а большую — в точке M. Найдите площадь треугольника KMO1, если ∠LMO2=22,5°.

Окружности радиусов 5 и 8 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую — в точке C. Найдите площадь треугольника BCO2, если ∠ABO1=15°.

Окружности радиусов 9 и 15 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке L. Прямая, проходящая через точку L, вторично пересекает меньшую окружность в точке K, а большую — в точке M. Найдите площадь треугольника KMO1, если ∠LMO2=15°.

Окружности радиусов 2 и 3 с центрами O₁ и O₂ соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую  — в точке C. Найдите площадь треугольника BCO₂, если ∠ABO₁  =  30°.

Окружности радиусов 1 и 15 с центрами O1 и O2 соответственно касаются внутренним образом в точке K, MO1 и NO2 — параллельные радиусы этих окружностей, причём ∠MO1O2=120°. Найдите MN.

Дан треугольник со сторонами 26, 26 и 20. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.