Новая Школа - онлайн-школа подготовки к ЕГЭ
При поддержке
 Тренировки Пробники Статистика Карточки Учебник Об экзамене Учительская
  • Тренажёр заданий ЕГЭ
  • Тренажёр ЕГЭ по Профильной математике
  • Список заданий №1721
  • Задание №1721

    • Задание №57724 ЕГЭ Профильной математике

    Условие задания #57724

    №1721 по КИМ

    Дан треугольник ABC,  в котором проведены три высоты: AA1,  BB1  и CC1.  Через точку C1  проведена прямая, параллельная BB1,  которая пересекает AA1  в точке K.  Пусть H  — точка пересечение высот треугольника ABC.

    а) Докажите, что AB ⋅KH = BC ⋅C1H.

    б) Найдите отношение площадей треугольников C1HK  и ABC,  если AB = 4,  BC = 5  и AC = √17.

    Ответ

    Ответ:

    Решение

     

    а) Рассмотрим четырехугольник A1BC1H.  В нем  ∘ ∠BA1H = ∠BC1H = 90 ,  значит, четырехугольник A1BC1H  — вписанный. Тогда внешний угол C1HA  при вершине H  равен противолежащему углу A1BC1,  то есть ∠C1HA = ∠A1BC1 = ∠CBA.

    Рассмотрим треугольник ABB1.  В нем ∠BB1A = 90∘,  значит, по сумме углов треугольника ∠B1BA = 90∘ − ∠BAB1.

    Соответственные углы B1BA  и KC1A  образованы параллельными прямыми BB1  и C1K  и секущей BA,  значит, ∠B1BA = ∠KC1A.

    Рассмотрим угол AC1H.  Он прямой, так как CC1  — высота треугольника ABC.  Тогда

    ∘ ∘ ∘ ∘ ∠KC1H = 90 − ∠KC1A =90 − ∠B1BA = 90 − (90 − ∠BAB1 )= ∠BAB1 =∠BAC

    Мы получили, что ∠KC1H = ∠BAC  и ∠C1HA =∠CBA,  значит, треугольники ABC  и C1HK  подобны по двум углам, следовательно, выполняется соотношение

    AB C1H BC- = KH-- ⇒ AB ⋅KH =BC ⋅C1H

     

    PIC

    б) Запишем теорему косинусов для треугольника ABC :

    AC2 = AB2 + BC2 − 2AB ⋅BC cos∠ABC ⇔

     

    16 +25 − 17 ⇔ 17 = 16+ 25− 40 cos∠ABC ⇔ cos∠ABC = ----40---- = 0,6

    Тогда мы можем найти BC1  и AC1 :

    BC1 = BC cos∠ABC = 5 ⋅0,6= 3 ⇒ AC1 = AB − BC1 = 4− 3= 1

    В предыдущем пункте мы доказали, что ∠CBA = ∠C1HA.  Рассмотрим прямоугольный треугольник C1HA.  В нем имеем:

    ( ) C1H = AH cos∠C1HA = ---AC1--- cos∠C1HA = sin∠C1HA

     

    cos∠C1HA cos∠ABC = AC1 sin∠C1HA--= AC1 sin∠ABC---

    Найдем sin∠ABC.  Так как ∠ABC  является углом треугольника, то sin∠ABC > 0.  Тогда

    ∘ ------------ ∘ ------- ∘ ---- sin ∠ABC = 1− cos2∠ABC = 1− 0,36= 0,64 =0,8 ⇒

     

    0,6 3 3 ⇒ C1H = AC1 ⋅0,8-= 1⋅4 = 4

    По условию AB = 4.  Тогда коэффициент подобия k  треугольников C1HK  и ABC  равен

    ( ) k = C1H = 34-= 3- ⇒ SC1HK-= k2 = 3- 2 =-9- AB 4 16 SABC 16 256
    Ответ:

    б) -9- 256

     
     
    Понятно ли решение?

    Авторизуйся, чтобы посмотреть решение

    1. Активируй TG-бот через QR-код или по кнопке
    2. Введи код авторизации из TG-бота
    Активировать TG-бот

    Похожие задания

    1
    Задание №57724
    Бесплатно

    Решай задачи ЕГЭ в приложении

    Скачивай наш Тренажер ЕГЭ на iPhone или Android и тренируйся в любое время и в любом месте!

    Новая Школа

    Тренажёр ОГЭТренажёр ЕГЭО Новой ШколеВакансииОтзывыСведения об образовательной организацииОбразовательная лицензия

    Контакты

    +7 964 727-31-41

    Служба поддержки

    Ежедневно с 10:00 до 22:00

    Мобильное приложение

    Саша — ассистент в телеграмме

    ПО распространяется в виде интернет-сервиса, специальные действия по установке ПО на стороне пользователя не требуются

    © Новая Школа 2026
    Политика конфиденциальностиПользовательское соглашениеДоговор-оферта