Давай разберем это вместе.
№1. У нас есть уравнение сферы ( x^2 + (y+3)^2 + (z-2)^2 = 25 ).
а) Чтобы найти координаты центра сферы, надо посмотреть на коэффициенты при ( y ) и ( z ) в скобках. Центр имеет координаты, противоположные этим значениям (то есть меняем знаки). Получается, центр находится в точке ( C(0, -3, 2) ). Радиус сферы - это корень из правой части уравнения, то есть ( R = 5 ).
б) Чтобы проверить, принадлежат ли точки ( A(1, 3, -1) ) и ( B(2, 2, 1) ) сфере, нужно подставить их координаты в уравнение сферы и проверить, верно ли оно. Для точки ( A ):
( 1^2 + (3+3)^2 + (-1-2)^2 = 1 + 36 + 9 = 46 ), что не равно 25, следовательно, точка ( A ) не принадлежит сфере.
Для точки ( B ):
( 2^2 + (2+3)^2 + (1-2)^2 = 4 + 25 + 1 = 30 ), что тоже не равно 25, значит и точка ( B ) не принадлежит сфере.
№2. Здесь нам даны координаты центра ( C(-2, 4, -5) ) и радиус ( R = \sqrt{5} ). Уравнение сферы в общем виде выглядит так: ( (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 + (z-z_0)^2 = R^2 ), где ( (x_0, y_0, z_0) ) - координаты центра. Подставляем наши данные:
( (x + 2)^2 + (y - 4)^2 + (z + 5)^2 = (\sqrt{5})^2 )
( (x + 2)^2 + (y - 4)^2 + (z + 5)^2 = 5 ).
Это и будет искомое уравнение сферы.
№3. Теперь нам надо проверить, является ли уравнение ( x^2 + y^2 - 12y + z^2 - 12z = 4 ) уравнением сферы. Уравнение сферы должно содержать полные квадраты для всех переменных и одинаковые коэффициенты перед ними. Здесь мы видим неполные квадраты для ( y ) и ( z ), поэтому дополним их до полных квадратов, добавив и вычтя соответствующие числа. Для ( y^2 - 12y ) это ( 36 ), так как ( (y - 6)^2 = y^2 - 12y + 36 ). Для ( z^2 - 12z ) это тоже ( 36 ), так как ( (z - 6)^2 = z^2 - 12z + 36 ). Теперь добавим и вычтем ( 36 ) в обеих частях исходного уравнения:
( x^2 + (y - 6)^2 + (z - 6)^2 = 4 + 36 + 36 )
( x^2 + (y - 6)^2 + (z - 6)^2 = 76 ).
Мы видим, что уравнение является уравнением сферы с центром в точке ( (0, 6, 6) ) и радиусом ( \sqrt{76} ).
