задание 1 упростить выражение

Хорошо, давай посмотрим на задание номер 1 в Варианте I:

Упростить выражение: \[ \frac{2\cos(t)}{\sin(2t)} - \frac{\sin(t)}{\cos(t)} \]

Для упрощения этого выражения мы можем использовать формулу двойного угла для синуса: \(\sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t)\). Это позволяет нам упростить первую дробь:

\[ \frac{2\cos(t)}{2\sin(t)\cos(t)} = \frac{1}{\sin(t)} \]

Теперь займемся второй дробью. Напомню, что \(\frac{\sin(t)}{\cos(t)}\) это тангенс: \(\tan(t)\).

Тогда первое выражение упростится к:

\[ \frac{1}{\sin(t)} - \tan(t) \]

Так как тангенс это \(\frac{\sin(t)}{\cos(t)}\), его можно представить в виде дроби:

\[ \csc(t) - \frac{\sin(t)}{\cos(t)} \]

Теперь приведем второе слагаемое к общему знаменателю \(\cos(t)\):

\[ \frac{1}{\sin(t)} - \frac{\sin(t)}{\cos(t)} = \frac{\cos(t)}{\sin(t)\cos(t)} - \frac{\sin^2(t)}{\sin(t)\cos(t)} \]

Так как \(\cos^2(t) + \sin^2(t) = 1\), то \(\cos^2(t) = 1 - \sin^2(t)\). Следовательно, мы можем заменить \(\cos(t)\) на \(\sqrt{1 - \sin^2(t)}\), чтобы знаменатели совпали:

\[ \frac{\cos(t) - \sin^2(t)}{\sin(t)\cos(t)} \]

Далее, зная, что \(\cos^2(t) = 1 - \sin^2(t)\), получаем:

\[ \frac{1 - \sin^2(t) - \sin^2(t)}{\sin(t)\cos(t)} = \frac{1 - 2\sin^2(t)}{\sin(t)\cos(t)} \]

Если мы вспомним формулу для косинуса двойного угла, то заметим, что \(\cos(2t) = 1 - 2\sin^2(t)\), тогда:

\[ \frac{\cos(2t)}{\sin(t)\cos(t)} = \frac{\cos(2t)}{\sin(2t)} \]

Таким образом, мы упростили исходное выражение до:

\[ \frac{\cos(2t)}{\sin(2t)} \]

Что соответствует котангенсу двойного угла:

\[ \cot(2t) \]

Вот таким образом можно решать задачи по тригонометрии - раскладывая сложные выражения на более простые, используя известные тригонометрические формулы и свойства. Надеюсь, это поможет тебе в освоении математики!