Задание 1 упростить выражение

Хорошо, давай посмотрим на задание номер 1 в Варианте I: Упростить выражение: \[ \frac{2\cos(t)}{\sin(2t)} - \frac{\sin(t)}{\cos(t)} \] Для упрощения этого выражения мы можем использовать формулу двойного угла для синуса: \(\sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t)\). Это позволяет нам упростить первую дробь: \[ \frac{2\cos(t)}{2\sin(t)\cos(t)} = \frac{1}{\sin(t)} \] Теперь займемся второй дробью. Напомню, что \(\frac{\sin(t)}{\cos(t)}\) это тангенс: \(\tan(t)\). Тогда первое выражение упростится к: \[ \frac{1}{\sin(t)} - \tan(t) \] Так как тангенс это \(\frac{\sin(t)}{\cos(t)}\), его можно представить в виде дроби: \[ \csc(t) - \frac{\sin(t)}{\cos(t)} \] Теперь приведем второе слагаемое к общему знаменателю \(\cos(t)\): \[ \frac{1}{\sin(t)} - \frac{\sin(t)}{\cos(t)} = \frac{\cos(t)}{\sin(t)\cos(t)} - \frac{\sin^2(t)}{\sin(t)\cos(t)} \] Так как \(\cos^2(t) + \sin^2(t) = 1\), то \(\cos^2(t) = 1 - \sin^2(t)\). Следовательно, мы можем заменить \(\cos(t)\) на \(\sqrt{1 - \sin^2(t)}\), чтобы знаменатели совпали: \[ \frac{\cos(t) - \sin^2(t)}{\sin(t)\cos(t)} \] Далее, зная, что \(\cos^2(t) = 1 - \sin^2(t)\), получаем: \[ \frac{1 - \sin^2(t) - \sin^2(t)}{\sin(t)\cos(t)} = \frac{1 - 2\sin^2(t)}{\sin(t)\cos(t)} \] Если мы вспомним формулу для косинуса двойного угла, то заметим, что \(\cos(2t) = 1 - 2\sin^2(t)\), тогда: \[ \frac{\cos(2t)}{\sin(t)\cos(t)} = \frac{\cos(2t)}{\sin(2t)} \] Таким образом, мы упростили исходное выражение до: \[ \frac{\cos(2t)}{\sin(2t)} \] Что соответствует котангенсу двойного угла: \[ \cot(2t) \] Вот таким образом можно решать задачи по тригонометрии - раскладывая сложные выражения на более простые, используя известные тригонометрические формулы и свойства. Надеюсь, это поможет тебе в освоении математики!