Хорошо, давай посмотрим на задание номер 1 в Варианте I:
Упростить выражение:
[ \frac{2\cos(t)}{\sin(2t)} - \frac{\sin(t)}{\cos(t)} ]
Для упрощения этого выражения мы можем использовать формулу двойного угла для синуса: (\sin(2t) = 2\sin(t)\cos(t)). Это позволяет нам упростить первую дробь:
[ \frac{2\cos(t)}{2\sin(t)\cos(t)} = \frac{1}{\sin(t)} ]
Теперь займемся второй дробью. Напомню, что (\frac{\sin(t)}{\cos(t)}) это тангенс: (\tan(t)).
Тогда первое выражение упростится к:
[ \frac{1}{\sin(t)} - \tan(t) ]
Так как тангенс это (\frac{\sin(t)}{\cos(t)}), его можно представить в виде дроби:
[ \csc(t) - \frac{\sin(t)}{\cos(t)} ]
Теперь приведем второе слагаемое к общему знаменателю (\cos(t)):
[ \frac{1}{\sin(t)} - \frac{\sin(t)}{\cos(t)} = \frac{\cos(t)}{\sin(t)\cos(t)} - \frac{\sin^2(t)}{\sin(t)\cos(t)} ]
Так как (\cos^2(t) + \sin^2(t) = 1), то (\cos^2(t) = 1 - \sin^2(t)). Следовательно, мы можем заменить (\cos(t)) на (\sqrt{1 - \sin^2(t)}), чтобы знаменатели совпали:
[ \frac{\cos(t) - \sin^2(t)}{\sin(t)\cos(t)} ]
Далее, зная, что (\cos^2(t) = 1 - \sin^2(t)), получаем:
[ \frac{1 - \sin^2(t) - \sin^2(t)}{\sin(t)\cos(t)} = \frac{1 - 2\sin^2(t)}{\sin(t)\cos(t)} ]
Если мы вспомним формулу для косинуса двойного угла, то заметим, что (\cos(2t) = 1 - 2\sin^2(t)), тогда:
[ \frac{\cos(2t)}{\sin(t)\cos(t)} = \frac{\cos(2t)}{\sin(2t)} ]
Таким образом, мы упростили исходное выражение до:
[ \frac{\cos(2t)}{\sin(2t)} ]
Что соответствует котангенсу двойного угла:
[ \cot(2t) ]
Вот таким образом можно решать задачи по тригонометрии - раскладывая сложные выражения на более простые, используя известные тригонометрические формулы и свойства. Надеюсь, это поможет тебе в освоении математики!
