Чтобы решить данное уравнение, сначала нам нужно привести левую часть уравнения к общему знаменателю. Для этого умножим и разделим первое слагаемое на (x - 4), а второе - на (x + 4). Получим:
[(3x + 1)(x - 4) - (x - 1)(x + 4)] / [(x + 4)(x - 4)] = 3.
Раскроем скобки в числителе:
(3x^2 - 12x + x - 4) - (x^2 - 4x - x + 4) = 3(x^2 - 4).
Упростим выражение в числителе:
3x^2 - 11x - 4 - x^2 + 5x - 4 = 3(x^2 - 4).
Объединим подобные члены:
2x^2 - 6x - 8 = 3x^2 - 12.
Перенесём все члены в левую часть, чтобы затем приравнять выражение к нулю:
2x^2 - 6x - 8 - 3x^2 + 12 = 0.
Упрощаем уравнение:
-x^2 - 6x + 4 = 0.
Чтобы найти корни этого квадратного уравнения, нам понадобится формула дискриминанта: D = b^2 - 4ac. В нашем случае a = -1, b = -6, c = 4. Подставим и найдем дискриминант:
D = (-6)^2 - 4 * (-1) * 4 = 36 + 16 = 52.
Теперь найдем корни уравнения используя формулы корней квадратного уравнения:
x1 = (-b + √D) / (2a),
x2 = (-b - √D) / (2a).
Подставим числа:
x1 = (6 + √52) / (2 * (-1)),
x2 = (6 - √52) / (2 * (-1)).
Теперь вычислим среднее арифметическое корней:
(x1 + x2) / 2 = [(6 + √52) / (-2) + (6 - √52) / (-2)] / 2.
Из-за того, что у наших корней одинаковые числители, но разные знаменатели, а суммирование происходит в числителе, √52 взаимно уничтожатся, и останутся только 6, которые мы суммируем:
(6 / (-2) + 6 / (-2)) / 2 = (-3 + (-3)) / 2 = (-6) / 2 = -3.
Значит среднее арифметическое корней уравнения равно -3.
