Чтобы решить задачу, сначала разберёмся с тем, что изображено на картинке. Перед нами треугольник ABC с прямым углом C и высотой BD. Нам нужно найти периметр этого треугольника.
Формула периметра треугольника ( P = AB + BC + AC ), и мы уже знаем, что ( AB = 52 ).
Для начала найдём ( BC ) и ( AC ). Согласно теореме Пифагора ( AB^2 = BC^2 + AC^2 ). Но у нас есть круг с радиусом ( r = 8 ), который вписан в угол С, это значит ( BC = AC + 2r ), так как касательные, проведённые из одной точки (точки C), равны.
Теперь, ( AC = BC - 16 ) и подставляем это в уравнение Пифагора: ( 52^2 = BC^2 + (BC - 16)^2 ).
Решаем это квадратное уравнение для BC:
( 2704 = BC^2 + BC^2 - 32BC + 256 ),
( 2704 = 2BC^2 - 32BC + 256 ),
( 2BC^2 - 32BC - 2448 = 0 ),
Делим всё уравнение на 2:
( BC^2 - 16BC - 1224 = 0 ).
Теперь решим это уравнение. Чтобы найти корни квадратного уравнения, можно воспользоваться формулой корней квадратного уравнения, но поскольку не можем использовать формулы в ответах, давайте найдём целочисленные корни методом подбора: мы видим, что произведение -1224 должно получиться в результате умножения двух чисел, разность между которыми составляет 16. Эти числа - 38 и -32 (потому что ( 38 \cdot -32 = -1216 ), а ( 38 - (-32) = 70 )). Но нам подходят числа -38 и 32, так как нам нужна положительная разность.
Теперь, у нас есть два возможных значения для BC, но поскольку BC должно быть больше чем AC (и априори больше чем AC - 16), мы отвергаем отрицательный корень.
Следовательно, BC = 32. Тогда AC = BC - 16 = 32 - 16 = 16.
Теперь у нас есть все стороны треугольника:
( AB = 52 ),
( BC = 32 ),
( AC = 16 ).
Таким образом, периметр треугольника ABC:
( P = AB + BC + AC = 52 + 32 + 16 = 100 ).
Ответ: 100.
